§5. Понятие о несобственных кратных интегралах.

Мы не станем в этом параграфе углубляться в теорию, а рассмотрим лишь один пример: .

В этом случае можно дать определение сходимости интеграла по неограниченной области (по всей плоскости) разными способами. Например,

или.

Докажем, что оба эти предела существуют, конечны и равны между собой.

1. =.

Следовательно, .

2. Так как подынтегральная функция положительна, то интеграл возрастает с расширением области. Поэтому

.

3. Крайние члены этих неравенств имеют пределом число. По теореме о двух милиционерах средний член также стремится , то есть.

Покажем, как воспользоваться эти обстоятельством для вычисления интеграла Пуассона .

Имеем =.

Поэтому . Отметим, что для теории вероятностей и других дисциплин важным является следствие этой формулы.

109