§3. Замена переменных в кратных интегралах.

1˚. Перед тем как сформулировать правило замены переменных в кратных интегралах, напомним это правило в одномерном случае.

Рассмотрим гладкое отображение (замену переменной) . Будем считать, что, причёмне обращается в нуль на отрезке. Пусть еще,. Тогда.

Теорема. Пусть− область с кусочно-гладкой границей и, где,− взаимно однозначное отображение класса, причем якобиан этого отображенияне обращается в нуль в области. Пусть ещё. Тогда

.

Эту формулу можно объяснить следующим образом. Из линейной алгебры известно, что , где− линейный оператор, показывает, во сколько раз изменяется объём любого параллелепипеда (и, значит, любого тела) под действием оператора. Отсюда нетрудно вывести, что модуль определителя Якоби отображенияпредставляет собой коэффициент искажения объёма бесконечно малой окрестной окрестности точки под действием этого отображения.

2˚.Криволинейные координатыв областизадаются с помощью гладкого взаимно однозначного отображения, для которого якобианне обращается в нуль.Координатной линиейназываются образ линии, вдоль которой изменяется только координата.

В качестве примера криволинейных координат рассмотрим полярные координаты на плоскости. В этом случае − полярный радиус точки, отсчитываемый от полюса,− полярный угол, отсчитываемый от полярной оси. Если,−

координаты точки в правой прямоугольной декартовой системе координат, где ось

совпадает с полярной осью, то . Линии− лучи, выходящие из точки, линии− окружности с центром в этой точке.

Вернёмся к общему случаю. По касательной к линии в заданной точке идёт вектор, который мы будем коротко записывать. Длина этого вектора называетсякоэффициентом Ламэи обозначается. По предыдущему, т.е.− коэффициент искажения длины вдоль линии. В таком случае− единичный касательный вектор к линии. Набор векторовназываетсяподвижным репером. Он, вообще говоря, зависит от точки, в которой вычислены все эти векторы. Если подвижный репер в каждой точке образует ортогональную систему, то криволинейные координаты называютсяортогональными.

Имеем . В ортогональном случае из этой формулы, в частности, следует, что

.

Таким образом, в случае перехода от прямоугольных декартовых координат к ортогональным криволинейным координатам коэффициент искажения объёма равен произведению коэффициентов искажения длины вдоль координатных направлений.

3˚. Важные примеры криволинейных координат.

1. Полярные координаты. Выше уже были описаны полярные координаты и их связь с прямоугольными декартовыми координатами. Коэффициенты Ламэ легко вычисляются, исходя из их геометрического смысла:,.

Подвижный репер состоит из взаимно ортогональных векторов . Следовательно, полярные координаты представляют собой ортогональную криволинейную систему координат. Поэтому, иначе говоря,.

2. Обобщенные полярные (эллиптические) координаты.По определению. Координатными линиями являются эллипсыи лучи. Система − косоугольная. Здесьили.

3. Цилиндрические координаты в пространстве. Так называются величины, гдесовпадает с соответствующей декартовой координатой точки, а− полярные координаты точки, являющейся проекциейна плоскость. Здесь. Линии − лучи, расходящиеся от осипод прямым углом к ней. Линии− окружности с центром на си, лежащие в плоскостях. Линии− прямые, параллельные оси. Координатные поверхности: полуплоскости, начинающиеся с оси , плоскости, наконец, цилиндры (дающие название системе). Коэффициенты Ламэ: . Данная система является ортогональной. , т.е..

4. Сферические координаты в пространстве. Так называются величины, где− расстояние точкиот начала координат;− широта и долгота точки;. При этом . Линии − лучи, выходящие из начала координат; линии− меридианы; линии− параллели. Координатные поверхности − сферы, конусы и полуплоскости, начинающиеся с оси. Коэффициенты Ламэ:,,. Так как сферическая система является ортогональной, то ,.