Глава 3. Применения производной.

§1.Вычисление значений функций. Вычисление пределов.

Пример 1. Найти значение числа “” с точностью, равной . Как запрограммирован для этой цели калькулятор?

Решение. Можно попытаться использовать доказанную ранее двустороннюю оценку

.

К сожалению, длина интервала и для достижения нужной точности потребовалось бы взять слишком большое значение . Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа дает , где заключено между нулем и . Если взять , то получим , . Так как , а , то можно взять , Поэтому

Пример 2. С помощью правила Лопиталя-Бернулли вычислить .

Решение. Мы имеем здесь возможность несколько раз применить правило Л-Б. Это дает

.

Пример 3. Вычислить тот же предел с помощью формулы Маклорена.

Решение. Запишем формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для функций и : . Это дает сразу

.

Заметим, что здесь было достаточно воспользоваться формулой Маклорена-Тейлора пятого порядка.

§2.Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Теорема 1. Для того, чтобы функция была постоянной на интервале необходимо и достаточно, чтобы было на этом интервале.

Доказательство. Необходимость условия уже известна. Пусть теперь на интервале и пусть . По теореме Лагранжа , где . Так как , то . Поэтому на интервале .

Теорема 2. (Признак возрастания и убывания функции). Пусть . В таком случае, если на интервале , то строго возрастает на отрезке . Точно так же, если на интервале , то строго убывает на отрезке .

Доказательство. Пусть известно, что . В таком случае по теореме Лагранжа о конечном приращении, , то для некоторого значения будет . Следовательно, если , то , т.е. строго возрастает на отрезке .

Пример 1. Доказать, что .

Доказательство. Обозначим . Тогда будет ,

. В таком случае строго возрастает в первой четверти, а так как , то . Но тогда и строго возрастает в первой четверти, следовательно . Таким образом, . Ч и т. д.

Примеры и показывают, что необходимое условие экстремума не является достаточным.

Теорема 3. (Достаточное условие экстремума). Пусть в левой полуокрестности точки , в её правой полуокрестности и пусть функция непрерывна в самой этой точке. Тогда − точка строгого максимума . Наоборот, если в точке непрерывности функции её производная меняет знак, то − точка строгого минимума функции .

Доказательство. В первом случае строго возрастает слева от точки , поэтому в левой полуокрестности. А так как строго убывает слева от точки , то . Поэтому − точка строго максимума функции . Второй случай разбирается точно так же.

Теорема 4. (Достаточное условие экстремума, использующее старшие производные). Пусть . Если − четное, то − точка максимума функции . Если же − нечетное, то в точке нет экстремума.

Доказательство. .

По условию теоремы когда . При значениях , близких к числу , знак величины совпадает со знаком производной . Поэтому если четное число, то разность сохраняет свой знак в окрестности точки и, следовательно, имеет в этой точке экстремум. Именно, если , то − точка максимума , если же , то − точка минимума . Пусть теперь − число нечетное. В этом случае разность меняет знак при прохождении через точку , поэтому не является точкой экстремума.

Частный случай. Пусть − стационарная точка функции (то есть ). Тогда, если , − точка максимума , если же , − точка минимума . Для запоминания можно использовать так называемое “правило воды”.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию в точке .

Решение. Имеем:

; ; ;

. Поэтому − точка минимума рассматриваемой функции.

Bbb

§3 Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти все её критические точки (т.е. точки, где производная этой функции рана нулю или не существует), присоединить к ним концы промежутка, вычислить значения функции во всех отобранных точках и отобрать среди этих значений самое большое и самое маленькое.

Пример. Найти наибольший объём конуса с заданной боковой поверхностью . Чему равен центральный угол его развёртки?

Решение. Обозначим образующую конуса, его высоту, радиус основания и объём, Тогда будет , и . Поэтому можно выразить объём через радиус непосредственно: =, где , .

Для того, чтобы решить поставленную задачу, достаточно найти наибольшее значение функции при условии, что . Так как , то стационарное значение функции равно . Мы видим, что . Поэтому , а . Осталось вычислить центральный угол сектора, представляющего собой развёртку найденного конуса. Так как , то .

§4. Направление выпуклости и точки перегиба функции.

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если на этом отрезке любая дуга ее графика лежит ниже хорды (мы будем это записывать с помощью значка ), Аналогично определяется выпуклость вверх ().

Для получения аналитического условия выпуклости нам понадобятся 2 леммы.

Лемма 1. Если существует , то .

Доказательство. По формуле Тейлора . Складывая, получаем и т. д.

Лемма 2. Если и − уравнение хорды графика этой функции на участке , то найдется число такое, что .

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию . Легко при фиксированном значении подобрать параметр так, чтобы было ; именно . Так как функция обращается в нуль в точках , то применяя дважды теорему Ролля, видим, что в при некотором будет. Но . Поэтому или . Подставляя вместо в выражение для , получаем .

Теорема 1. Если то на отрезке тогда и только тогда, когда

на отрезке .

Доказательство. Если , то , . Из леммы 1 следует, что .

Наоборот, пусть на интервале . Применим лемму 2 к отрезку , где . Тогда мы имеем , т. е. .

Для запоминания можно использовать “правило воды”.

Добавление. Можно в определении выпуклости заменить хорду графика касательной. Легко доказать, что функция выпукла вниз на отрезке тогда и только тогда, когда на этом участке любая дуга графика лежит выше касательной, проведенной к графику в промежуточной точке.

Определение 2. Пусть производная непрерывна . Точка называется точкой перегиба функции , если в левой и правой полуокрестностях имеет противоположное направление выпуклости.

Теорема 2. (Необходимое условие перегиба в точке). В точке перегиба функции её вторая производная равна нулю или не существует.

Доказательство. По теореме 1 в точке перегиба функции ее производная имеет экстремум. Поэтому там рана нулю или не существует.

Это условие не является достаточным. Контрпримером может служить, функция .

Теорема 3. (Достаточное условие перегиба, использующее только ). Пусть производная непрерывна в точке и сохраняет знак в полуокрестностях этой точки. Если эти знаки противоположны то − точка перегиба, если одинаковые, то − перегиба нет.

(Следует из определения точки перегиба и теоремы 1.)

Теорема 4. (Достаточное условие перегиба, использующее старшие производные). Пусть , . В таком случае, если − четное число, то не является точкой перегиба функции , если же нечетное, то − точка перегиба.

Доказательство. Из условия следует, что .

Если здесь четное, то знак сохраняется в окрестности точки и перегиба здесь нет. Если нечетное, то знак разный справа и слева от точки и − точка перегиба функции .

§5.Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции , если при неограниченном удалении точки от начала координат вдоль прямой расстояние этой точки от графика функции стремится к нулю.

График функции имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы и .Действительно, пусть − расстояние точки графика от прямой , тогда . Поэтому .

График имеет горизонтальную асимптоту с уравнением , если . График имеет вертикальную асимптоту , если − точка бесконечного разрыва функции .

§6. Схема полного исследования функции. Построение графика.

1. Область определения функции.

2. Симметрия графика, периодичность.

3. Точки разрыва функции.

4. Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства.

5. Асимптоты и подходы к ним.

6. Интервалы монотонности и точки экстремума функции.

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

8. Нахождение дополнительных точек графика.

9. Построение графика функции.

Пример. Провести исследование функции и построить ее график

1. Область определения функции

2. Функция непериодическая, ни чётная, ни нечетная (функция общего вида).

3. − точка бесконечного разрыва функции.

4. − единственная точка пересечения с осями координат. , .

5. Вертикальная асимптота: . Подходы к асимптоте: . Наклонная асимптота: . , . Подходы к асимптоте: . Пересечения с асимптотой − .