Математический анализ за 1 и 2 семестр / Mat_An_Oglavlenie
.docМатематический анализ.
(для групп МП, ПМ, К5 – 07)
Оглавление
Литература.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
Глава 1. Теория пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§1. Принцип ТВГ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§2. Предел числовой последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§3. Предельный переход и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
§4. Предельный переход и арифметические операции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§5. Предел функции .Свойства пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4
§6. Сравнение б.м. (б.б.) функций. Эквивалентные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§7. Теоремы существования в теории пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§8. Метод математической индукции. Неравенство Я. Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§9. Существование предела . Число e, натуральные логарифмы. . . . . . . . . 9
§10. Первый замечательный предел. Следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
§11. Второй замечательный предел. Следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
§12. Две теоремы о существовании предела функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§13. Свойства функций, непрерывных в заданной точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§14. Классификация точек разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§15. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§16. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Глава 2. Производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§1.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§2. Свойства дифференцируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§3. Правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
§4. Таблица производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§5. Гиперболические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
§6. Логарифмическая производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§7. Лемма Фермá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§8. Теоремы о среднем значении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
§9. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределённостей вида . . 25
§10. Производные и дифференциалы старшего порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§11. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Глава 3. Применения производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§1. Вычисление значений функций. .Вычисление пределов. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29
§2. Возрастание, убывание и экстремум функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§3. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§4. Направление выпуклости и точки перегиба функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§5. Асимптоты графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
§6. Схема полного исследования функции. Построение графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.. . . . 39
§1. Множества в пространстве .Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§2.Частные производные и производные по направлению. Градиент. Производное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§3. Свойства градиента. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. . . . . . . . . . 44
§4. Производная композиции (сложной функции). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§5. Неявные функции и их производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§6. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
§7. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
§8. Точки экстремума функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§9. Условный экстремум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
§10. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области. . . 60
Глава 5. Неопределённый интеграл.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§2. Таблица основных неопределённых интегралов 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§3. Замена переменной в неопределённом интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§4. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§5. Алгебраические многочлены и дробно-рациональные функции. . . . . . . . . . . . . . . . 67
§6. Интегрирование дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§7. Интегрирование выражений, рационально зависящих от функций . . . .72
§8. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы. . . . . . . . . . . . . . . .74
Глава 6. Определённый интеграл и его приложения. Несобственные интегралы. . . . 77
§1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§2. Два определения интеграла Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78
§3. Свойства сумм Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 80
§4. Теорема Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана. . . . . . . . . .81
§5. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций и монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§6. Свойства интегрируемых функций. Свойства определённого интеграла. . . . . . . . . 84
§7. Интеграл с переменным верхним пределом. Связь определённого и неопределённого интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
§8. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. . . . . .88
§9. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
§10. Некоторые приложения определённого интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Глава 7. Кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§1. Определение и основные свойства двойного интеграла. Тройной интеграл. . . . . . . . . . ..97
§2. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
§3. Замена переменных в кратных интегралах. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .102
§4. Приложения кратных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§5. Понятие о несобственных кратных интегралах. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 109
Глава 8.Ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§1. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§2. Признаки сходимости рядов с положительными членами. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 112
§3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§4. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
§5. Три теоремы о равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§6. Сходимость степенных рядов. Действия со степенными рядами. . . . . . . . . . . . . . .120
§7. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§8. Некоторые приложения степенных рядов. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§9. Тригонометрические ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125