Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
20.04.2015
Размер:
69.63 Кб
Скачать

Математический анализ.

(для групп МП, ПМ, К5 – 07)

Оглавление

Литература.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

Глава 1. Теория пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§1. Принцип ТВГ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§2. Предел числовой последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§3. Предельный переход и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

§4. Предельный переход и арифметические операции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§5. Предел функции .Свойства пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4

§6. Сравнение б.м. (б.б.) функций. Эквивалентные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§7. Теоремы существования в теории пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§8. Метод математической индукции. Неравенство Я. Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§9. Существование предела . Число e, натуральные логарифмы. . . . . . . . . 9

§10. Первый замечательный предел. Следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

§11. Второй замечательный предел. Следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

§12. Две теоремы о существовании предела функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

§13. Свойства функций, непрерывных в заданной точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§14. Классификация точек разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§15. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§16. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Глава 2. Производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§1.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§2. Свойства дифференцируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§3. Правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

§4. Таблица производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

§5. Гиперболические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

§6. Логарифмическая производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§7. Лемма Фермá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§8. Теоремы о среднем значении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

§9. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределённостей вида . . 25

§10. Производные и дифференциалы старшего порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§11. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Глава 3. Применения производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§1. Вычисление значений функций. .Вычисление пределов. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29

§2. Возрастание, убывание и экстремум функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

§3. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

§4. Направление выпуклости и точки перегиба функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

§5. Асимптоты графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

§6. Схема полного исследования функции. Построение графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.. . . . 39

§1. Множества в пространстве .Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

§2.Частные производные и производные по направлению. Градиент. Производное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§3. Свойства градиента. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. . . . . . . . . . 44

§4. Производная композиции (сложной функции). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§5. Неявные функции и их производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§6. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

§7. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

§8. Точки экстремума функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§9. Условный экстремум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

§10. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области. . . 60

Глава 5. Неопределённый интеграл.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

§1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

§2. Таблица основных неопределённых интегралов 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

§3. Замена переменной в неопределённом интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§4. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§5. Алгебраические многочлены и дробно-рациональные функции. . . . . . . . . . . . . . . . 67

§6. Интегрирование дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§7. Интегрирование выражений, рационально зависящих от функций . . . .72

§8. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы. . . . . . . . . . . . . . . .74

Глава 6. Определённый интеграл и его приложения. Несобственные интегралы. . . . 77

§1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§2. Два определения интеграла Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78

§3. Свойства сумм Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 80

§4. Теорема Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана. . . . . . . . . .81

§5. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций и монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

§6. Свойства интегрируемых функций. Свойства определённого интеграла. . . . . . . . . 84

§7. Интеграл с переменным верхним пределом. Связь определённого и неопределённого интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

§8. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. . . . . .88

§9. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

§10. Некоторые приложения определённого интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Глава 7. Кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§1. Определение и основные свойства двойного интеграла. Тройной интеграл. . . . . . . . . . ..97

§2. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

§3. Замена переменных в кратных интегралах. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .102

§4. Приложения кратных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§5. Понятие о несобственных кратных интегралах. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 109

Глава 8.Ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

§1. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

§2. Признаки сходимости рядов с положительными членами. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 112

§3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§4. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

§5. Три теоремы о равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

§6. Сходимость степенных рядов. Действия со степенными рядами. . . . . . . . . . . . . . .120

§7. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§8. Некоторые приложения степенных рядов. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

§9. Тригонометрические ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Соседние файлы в папке Математический анализ за 1 и 2 семестр