Глава 6.Определенный интеграл и его приложения. Несобственные интегралы. §1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

1. Задача о площади (или о квадратуре) криволинейной трапеции. Пусть− положительная функция. Требуется найти площадьфигуры, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс, и отрезками.

Если , то. В общем случае это произведение зависит. Оно даётс ошибкой, доходящей. Здесь− колебание функциина отрезке, т.е., где(Рис 1).

Для того, чтобы учесть изменение функции , разобьём отрезокна частичные отрезки, выберем. Тогда получим. Ошибка сейчас не превышает суммы площадей заштрихованных фигур на рисунке 2,

что значительно меньше, чем прежде.

Так как непрерывная функция мало изменяется при малых изменениях аргумента, то, по-видимому, точное значение площади равно

2. Та же конструкция возникает при вычислении перемещения точки, если известна её скорость.

3. Тот же предел суммы приходится рассматривать в задаче о нахождении массы (или заряда) стержня по известной линейной плотности массы (заряда) и т.д. и т.п.

§2. Два определения интеграла Римана.

1˚.Пусть;−разбиениеотрезка. Пусть далее, где−набор промежуточных точек, согласованный с разбиением;−мелкость разбиения, Наконец,будет обозначать множество всех таких наборов, согласованных с.

Определение 1. Мы будем называтьримановой интегральной суммойдля функции, соответствующей разбиениюи набору.

Определение 2. Числоназывается пределом интегральных сумм при условии, что мелкость разбиения стремится к нулю (в записи), если для любого числанайдется такое число, что при любых, для которых, выполняется неравенство

Первое основное определение. Функцияназываетсяинтегрируемой по Римануна отрезкеили короче, если существует предел. Сам пределназываетсяопределённым интегралом Риманаи обозначается.

Отметим, что название “интеграл” происходит от “integer” − целый, а обозначениеподчеркивает происхождение из суммы(стилизованная букваS).

Теорема. (Необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Предположим, что функция, но не является ограниченной. Существует число, такое чтобудет.

Фиксируем разбиение , для которого. Так как функциянеограниченна на отрезке, то она неограниченна на некоторых частичных отрезках, скажем. Фиксируем все,, а самооставим пока неопределённым. Если обозначить, то получим. Выберем теперь значениетак, чтобыбыло больше, чем. Тогда окажется, что. А это противоречит выбору числа.

2˚.Дальше мы будем рассматривать только ограниченные функции. Для каждой такой

функции и разбиенияможно определить величины:

,,− колебание функциина отрезке, а для отрезков разбиенияполагаем,,.

Определение 3. Величинаназываетсянижнейсуммой Дарбу,

величина −верхнейсуммой Дарбу,

называетсянижниминтегралом,−верхниминтегралом.

Второе основное определение. Функцияназывается интегрируемой на отрезке, если. Их общее значениеназывается интегралом.

§3. Свойства сумм Дарбý.

Если ясно, о какой функции идет речь, то мы будем писать,−и−.

Теорема. Пусть− ограниченная на отрезкефункция. Тогда для любого разбиенияэтого отрезка и любого набора точекбудет

1) ,и , значит,,;

2) если , тои;

3) для любых двух разбиенийиотрезка.

Упражнение.Доказать пункт 1) самостоятельно.

Доказательство пункта 2). Достаточно рассмотреть случай, когда разностьсостоит ровно из одной точки, скажем,. Пусть− интервал из разбиения, содержащий точку. Обозначим,,. Тогда будет

,

т, е. (см. Рис. 3).

Точно так же доказывается, что .

Доказательство пункта 3). Рассмотрим вспомогательное разбиение, Тогда из утверждений 1) и 2) сразу следует.