2˚. Длина дуги кривой.

Определение. Пусть− кривая, заданная параметрическими уравнениями:

Рассмотрим разбиение отрезкаи обозначимточки кривой. Обозначимдлину вписанной ломаной, т.е..

Кривая называетсяспрямляемой, если конечна величина. В этом случае числоназываетсядлиной кривой.

Свойства длины.

1. Положительность.

2. Аддитивность.

3. Монотонность.

4. Длина кривой не меняется при монотонной замене параметра .

Теорема. Если, то криваяспрямляема и её длина равна

.Доказательство.

1. Интегралсуществует (свойство 6 интегрируемых функций).

2. Множество длинвписанных ломаных, соответствующих всевозможным разбиениямотрезка, ограничено в совокупности, так как

,

где . Следовательно, криваяспрямляема.

3. Рассмотрим суммуНеравенство

показывает, что

.

Поэтому . Ч. и т. д.

Замечание 1. Для пространственной кривой.

Замечание 2. Частный случай доказанной формулы.Для случая задания кривой с помощью явного уравнения, т.е.,

Замечание 3. Еще один частный случай, когда кривая задана с помощью уравненияв полярной системе координат. В этом случае будем иметь.

Доказательство. Так как ,то ,следовательно,. Заметим, что это − тоже “теорема Пифагора”.

97