§16. Непрерывность элементарных функций.

Определение 1. Простейшимиэлементарными функциями называются: следующие функции:.

Определение 2. Класс элементарных функций состоит из простейших элементарных функций и всех тех функций, которые могут быть получены из них при помощи любого конечного числа арифметических операций и композиций.

Отметим, что элементарными функциями являются степенные функции, т.к. , и алгебраические многочлены. Функциии многие другие также принадлежат классу элементарных функций (действительно,,,).

Теорема. Любая изэлементарных функций непрерывна всюду, где она определена.

Доказательство.Ввиду теорем о непрерывности суммы, произведения, отношения и композиции непрерывных функций нам достаточно проверить непрерывность простейших элементарных функций.

Константы, очевидно, представляют собой непрерывные функции. Далее, взаимно-обратные функции непрерывны, так как они строго монотонны и не пропускают промежуточных значений. Непрерывность функциина всей вещественной оси мы уже проверяли непосредственно. Если ограничиться отрезком, то здесь эта функция строго монотонна, и, следовательно, у нее есть обратная функция, определенная на отрезке, которая также непрерывна и строго монотонна. Доказательство завершено.

16