§12. Две теоремы о существовании предела функции.

Теорема 1. (Теорема о пределе монотонной функции.) Если функциявозрастает и ограниченна в окрестности точки, существуют односторонниеи. При этомв левой полуокрестности ив правой полуокрестности этой точки.

Теорема 2. (Критерий Коши для функций.) Для существования конечного пределанеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.

Эти теоремы легко вывести из соответствующих теорем для последовательностей (см. теоремы 1. и 4.из §10).

§13. Свойства функций, непрерывных в заданной точке.

Определение. Функцияназываетсянепрерывнойв точке, если при, корче говоря,, другими словам:если, то есть бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

Пример 1. Функциянепрерывна при любом. Действительно,

.

Поэтому, .

Теорема 1.Если функцииинепрерывны в точке, тонепрерывны в этой точке. Если, кроме того,, то отношениетакже непрерывно в точке.

Доказательство. Это утверждение − непосредственное следствие теорем о пределах. Докажем, например, непрерывность отношения. Мы имеем

.

Теорема 2. Если функциянепрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке, то сложная функция (композиция)непрерывна в точке.

Доказательство. , т.е., а

Окончательно получаем . Ч и т.д.

Два следующих свойства непрерывных функций − сразу следуют из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 3. (Свойство локальной ограниченности.) Если функциянепрерывна в точке, то она ограниченна в окрестности этой точки.

Теорема 4. (Свойство локального сохранения знака.) Если функциянепрерывна в точкеи, тосохраняет знак числав окрестности этой точки.

Сформулируем пока без обсуждения еще одну теорему.

Теорема 5.Любая из элементарных функций непрерывна всюду, где она определена.

§14. Классификация точек разрыва.

По определению, если функция непрерывна в точке, то существуют и конечны оба односторонних пределаи при этом. В точке разрыва какое-либо из этих условий нарушено.

Говорят, что функция имеет в точкеразрывпервого рода, если оба односторонних пределасуществуют и конечны, но не выполняется хотя бы одно из указанных равенств. В частности,− точкаустранимогоразрыва, если, если же,−точка скачка; величиной скачка называют разность.

Говорят, что функция имеет в точкеразрыввторого рода, если разрыв в этой точке не относится к первому роду, т.е. пределыилине существуют или бесконечны. В частности, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то функцияимеетбесконечныйразрыв.

Примеры

1. . Эта функция имеет приустранимый разрыв, так как. Для устранения этого разрыва достаточно доопределить эту функцию по непрерывности, положив.

2. . Эта функция имеет скачок в каждой целочисленной точкеи.

3. . Здесь,, поэтому 0 − точка бесконечного разрыва.

4. . Так какине существуют, то, как и в предыдущем примере, приимеем точку разрыва второго рода.

§15.Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Определение. Функциюмы будем называть непрерывной на отрезкеи писать(− начальная буква словаcontinuous− непрерывный), еслинепрерывна во всех внутренних точках этого отрезка и односторонне непрерывна в его концах, т.е.,.

Теорема 1.(Теорема Коши о прохождении через нуль.) Пусть. Если на концах отрезкапринимает значения разных знаков, тообращается в нуль внутри отрезка, т.е. если, то.

Доказательство.Пусть, например и . Мы будем писать дальшеи. Обозначим. Если, то полагаеми доказательство закончено. Если же, то из двух отрезковивыбираем тот, на концах которого функцияменяет знак. Обозначим концы этого отрезка. Ясно, что. Обозначим. Если, полагаеми считаем, что доказательство закончено. Если, то обозначаемту половину предыдущего отрезка, где.

При продолжении этот процесс либо оборвется из-за того, что одно из чисел окажется корнем функции, либо будет построена бесконечная последовательность вложенных стягивающихся отрезковтаких, что. В точкефункцияобращается в нуль, т.к.и. Доказательство окончено.

Следствие. (Теорема Коши о промежуточном значении.) Пусть. В таком случаепринимает внутри отрезка все значения, промежуточные между числамии.

Доказательство. Пусть− значение, промежуточное между числамии. Тогда функцияудовлетворяет всем условиям теоремы о прохождении через нуль. В таком случае найдется точкатакая, что, но тогда.

Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса о наибольшем значении.) Пусть. В таком случае

1) функция ограниченна на этом отрезке;

2) функция принимает в точках этого отрезка свое наибольшее (и свое наименьшее) значения.

Доказательство пункта 1). Предположим, что функциянеограниченна сверху. В этом случае для любого натуральногонайдется точка, в которой. Теоремы Больцано-Вейерштрасса утверждает, что из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть− предел этой подпоследовательности. Тогда, с одной стороны, по свойству локальной ограниченностидолжна быть ограниченной в окрестности точки, а с другой −. Полученное противоречие доказывает, что функцияограниченна сверху. Точно так же доказывается ограниченностьснизу.

Доказательство пункта 2).Т.к. множество значений, принимаемых функциейна отрезке, ограниченно, существует. Докажем, что существует такая точка, где. Если это было бы не так, непрерывная функцияпринимала бы только положительные значения. Тогда функциябыла бы непрерывной на отрезке. Согласно пункту 1) существовало бы положительное числотакое, чтопри всех. Но тогда мы бы имели неравенствона отрезке, а этого быть не может, т.к..

Определение.Функцияназывается равномерно непрерывной на множестве, если.

Ясно, что функция, равномерно непрерывная на промежутке, непрерывна в каждой его точке.

Простейшие контрпримеры показывают, что обратное утверждение не верно.

Контрпримеры:1).; 2)..

Теорема 3. (Теорема Кантора о равномерной непрерывности.) Если, то эта функция равномерно непрерывна на отрезке.

Доказательство. Предположим противное. Это означает существованиетакого, чтонайдутся, для которых, но. Ввиду теоремы Больцано-Вейерштрасса можно считать, что обе последовательностисходятся. Ясно, что они должны иметь один и тот же предел, скажем. По условию теоремы функциянепрерывна в точке, следовательно. А это противоречит тому, что,.

Теорема 4.(Теорема об обратной функции) Если функциянепрерывна и строго возрастает на отрезке, то на отрезке, гдесуществует обратная к ней функция, т.е.. При этом обратная функция также является непрерывной и строго монотонной.

Лемма.Если функциямонотонна в окрестности точкии не пропускает там промежуточных значений, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство леммы.Слева от точкифункция ограничена сверху числом. Поэтому существует. Точно так же существует предел. При этом для любого,будет, а для любогобудет. Отсюда видно, что, иначе, функцияпропускала бы много значений, промежуточных между числами. Например, она пропускала бы все числа из объединения интервалов.

Доказательство теоремы 4.Так как функциястрого возрастает, то отображениеявляется взаимно однозначным. Отсюда следует существование обратной функции, которая также строго монотонна. Функцияне пропускает промежуточных значений, так множество принимаемых ею значений совпадает с отрезком. Согласно лемме функциянепрерывна на множестве.