§7. Теоремы существования в теории пределов .

Теорема 1. (Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). Ввсякая возрастающая и ограниченная сверху последовательностьимеет конечный предел. При этом. Точно так же, убывающая ограниченная снизу последовательность имеет предел, который не превосходит всех членов последовательности.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай возрастающей последовательности. Согласно принципу ТВГ существует. Обозначими докажем, чтои есть предел рассматриваемой последовательности. Если− произвольное положительное число, тоуже не является ТВГ. Поэтому найдётся номер, для которого. В таком случае. Это значит. С другой стороны, при всех, т.к. А − ТВГ данной последовательности.

Теорема 2. (Принцип вложенных отрезков.) Ву последовательности вложенности стягивающихся отрезков имеется единственная общая точка. Более подробно. Пустьи пусть. В таком случае пересечение всех данных отрезков состоит из единственной точки.

Доказательство.По условию. Отсюда следует, что последовательностьвозрастает и ограничена сверху числом, а последовательностьубывает и ограничена снизу числом. По теореме Вейерштрасса существуют пределыи, кроме того,при всех. Пересечение всех отрезковсодержит отрезоки, следовательно, непусто. Осталось доказать, что это пересечение состоит из единственной точки. Предположим, чтоипринадлежат рассматриваемому пересечению и. Тогда будет, следовательно,. И мы приходим к противоречию.

Теорема 3. (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Виз всякого бесконечного ограниченного множества можно выделить сходящуюся последовательность.

Доказательство.Пусть− указанное множество. Так как− ограниченное множество, то оно размещается на некотором отрезе. Выберем произвольным образом. Ясно, что. Обозначим. Хотя бы одна из двух половинок отрезкаисодержит бесконечное подмножествомножества. Обозначим такую половинку. Так как− бесконечное множество, то можно выбрать,.

Продолжая это построение далее, получим последовательность вложенных отрезков , последовательность бесконечных подмножестви последовательность попарно различных точек. При этом будети, когда. По теореме 2 существует. В таком случае по тереме о двусторонней оценке.

Определение. Последовательностьназываетсяфундаментальной, если выполнено условие Коши:, когдаи, а это значит, что:.

Легко видеть, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если , когда, то, при условии, что. Вобратное утверждение не верно. Так, последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, фундаментальна, но впредела не имеет.

Теорема 4. (Критерий Коши сходимости последовательностей). Впоследовательность является сходящейся, тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна.

Необходимость условия Коши уже доказана. Для доказательства достаточности понадобятся 2 леммы.

Лемма 1. Фундаментальная последовательность ограниченна.

Доказательство.Пусть. Тогда. Если, топри всех.

Лемма 2. Если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то вся последовательность тоже является сходящейся.

Доказательство. Пусть− фундаментальная последовательность и. Для любого положительного числаможно указать такой номер, после которого будут выполнены оба следующих условия. В таком случае, при всехбудем иметь. Это и означает, что последовательностьсходится и её предел равен.

Доказательство достаточности условия Коши. Пусть− фундаментальная последовательность. По лемме 1 эта последовательность ограничена. Теорема Больцано-Вейерштрасса показывает, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Но тогда из леммы 2 следует, что последовательностьявляется сходящейся.