3˚. Пример.

а). Разложить функциюна промежутке1)Фурье, 2)Фурье.

б). Сравнить в каждом из этих случаев графики суммы ряда с графиками частичных сумм.

в). Получить тождества для числовых рядов, подставляя различные значения в обе части найденных разложений.

г). Получить тождества для числовых рядов с помощью равенства Парсеваля - Стеклова.

Решение.

1). а). Продолжим функциюсначала нечетно, затем периодически. Полученная нечётная периодическая кусочно-гладкая на периоде функциясовпадаетна промежуткеи имеет скачки в точках. Ряд Фурье этой функции всюду сходится и его суммасовпадаетна интервале. Так каки, то; вообще,. В этом случае всекоэффициенты Фурьеравны нулю, а числабудут равны. Интегрирования по частям даёт. Окончательно получаем.

б). Сравнение графиков функций,и.

в). При значениибудет, и мы снова получаем(см.§6).

г). Равенство Парсеваля − Стеклова даёт в этом примере. Поэтому(Эйлер). Отметим, что .

2) а). Продолжим функциюсначала чётно, затем периодически. Полученная чётная периодическая кусочно-гладкая на периоде функциясовпадаетна отрезкеи не имеет точек разрыва. По этой причине ряд Фурьесходится всюду, а его суммана отрезкеравна. Всекоэффициентыравны нулю,,, т.е.. Поэтому.

б). Сравнение графиков функцийи.

в).Пусть, тогда будетили. Откуда снова следует тождество Эйлера. Действительно, если обозначить, то увидим, чтоили. Следовательно,.

г). Равенство Парсеваля − Стеклова в данном случае записывается в виде

или. Если обозначить, то получим. Поэтому(Эйлер).

128