2.3. Кинематические диаграммы

Определение аналитическими методами на компьютере угловых перемещений, скоростей и ускорений коромысла является одной из задач кинематики механизма. Алгоритм и программы расчета кривошипно-ползунного и кривошипно-коромыслового механизмов приведены в [1.3]. Алгоритм расчета кинематики кривошипно-коромыслового механизма взят из [3]. Ручной расчет произведен для 4-го положения.

Вуказанных расчетах длины звеньев и вспомогательный векторℓ_АС обозначены через номерные индексы:

ℓ_АС → ℓ₁, ℓ_ОА → ℓ₂, ℓ_АВ → ℓ₃, ℓ_ВС → ℓ₄, ℓ_АС → ℓ₅.

Угловая скорость ω₂ кривошипа, со знаком "минус" направлена в противоположную сторону вращения часовой стрелки. В расчетах использован метод замкнутых контуров. Точкой замыкания является внутренняя точка диады 3 – 4 (В3):

ℓ₂ + ℓ₃ = ℓ₁ + ℓ₄.

Обобщенная координата механизма в нулевом положении определяется по формуле:

φ_2,0 = arccos((ℓ₁² + (ℓ₂ + ℓ₃)² − ℓ₄²) ⁄ 2ℓ₁(ℓ₂ + ℓ₃)) =

= arccos((0,55² + (0,175 + 0,55)² − 0,325²) м ⁄ 2∙0,55(0,175 + 0,55) м) =

0,437163 рад.

Угловая координата φ_4,0 коромысла в нулевом положении механизма определяется по формуле (5.2) [3]:

φ_4,0 = arccos(((ℓ₂ + ℓ₃)∙cosφ_2,0 − ℓ₁) ⁄ ℓ₄) =

= arccos(((0,175 + 0,55) м∙cos(0,437163) − 0,55 м) ⁄ 0,325 м) =

1,235899221 рад.

Обобщенная координата механизма во втором положении j=3 [3].

φ₂ = φ_2,0 + (π∙ω₂∙Ј) ⁄ 6∙Ιω₂Ι = 0,417606 рад +

+ (π∙17 рад/c∙3) ⁄ (6∙Ι−17Ι рад/c) =

−1,57 рад.

Вспомогательный вектор ℓ₅:

ℓ₅ = √ℓ₁² + ℓ₂² − 2∙ℓ₁∙ℓ₂∙cosφ₂ =

√0,55² м + 0,175² м − 2∙0,55 м∙0,175 м∙cos(−1,57) = 0,37509634 м.

Угловая координата φ₅ вспомогательного вектора ℓ₅ в радианах

φ₅ = arcsin((−ℓ₂∙sinφ₂) ⁄ ℓ₅) =

= arcsin((−0,175 м∙sin(−1,57)) ⁄ 0,37509634 м) =

0,485382439 рад.

Вспомогательный угол φ₆ между векторами ℓ₅ и ℓ₃

φ₆ = arccos((ℓ₃² − ℓ₄²∙+ ℓ₅²) ⁄ 2∙ℓ₅∙ℓ₃ =

= arccos((0,55² − 0,325²∙+ 0,37509634²) м ⁄ (2∙0,37509634∙0,55) м =

0,63844475 рад.

Угловая координата шатуна

φ₃ = φ₅ + φ₆ = 0,4853822439 рад + 0,612615611 рад = 1,097998051 рад.

Угловая координата коромысла

φ₄ = arccos((ℓ₂cosφ₂ + ℓ₃cosφ₃ − ℓ₁) ⁄ ℓ₄) =

= arccos((0,175 м∙cos(−1,57) + 0,55 м∙cos(1,0932) − 0,55 м)

⁄ 0,325 м) = 2,7238739 рад.

Угловое перемещение коромысла от нулевого положения (5.9) [3]

θ₄ = φ₄ − φ_4,0 = 2,7238рад – 1,2358 рад = 1,488 рад.

Аналог угловой скорости φ_3,2^' шатуна определяется (величина безразмерная) (5.10) [3]

φ_3,2^' = (ℓ₂sin(φ₄ − φ₂)) ⁄ (ℓ₃sin(φ₃ − φ₄)) =

= (0,175 м∙sin(2,72387394 + 1,57) ⁄ (0,55 м∙sin(1,097998051 – 2,72387394) = 0,291162186 рад.

Аналог угловой скорости коромысла

φ_4,2^' = (ℓ₂sin(φ₃ − φ₂)) ⁄ (ℓ₄sin(φ₃ − φ₄)) =

= (0,175 м∙sin(1,097998051 + 1,57) ⁄

(0,325 м∙sin(1,097998051 – 2,72387394) = −0,14539374 рад.

Угловая скорость коромысла

ω₄ = φ_4,2^' Ιω₂Ι = −0,14539374 рад∙(17) рад/c = -2,47169358 рад/с

Аналог углового ускорения φ_4,2^'' коромысла

φ_4,2^'' = (ℓ₂(φ_3,2^' −1)∙cos(φ₃ − φ₂) − ℓ₄∙φ_4,2^'∙(φ_3,2^' − φ_4,2^')∙cos(φ₃ − φ₄)) ⁄

⁄ (ℓ₄sin(φ₃ − φ₄)) =

= ((0,175м (0,2911 − 1)∙cos(1,097998051 + 1,57) −

− 0,325 м∙(−0,1453)∙(0,2911 + 0,1453)∙cos(1,0979 −2,7238)) ⁄ (0,325 м∙sin(1,097998051 – 2,72387394))) =

= −0,336720056 рад.

Угловое ускорение коромысла

ε₄ = φ_4,2^'' ω₂² = −0,336720056рад∙Ι17рад/с Ι² = -97,31209619 рад/с²

Угловая координата φ_3,К шатуна формула

φ_3,К = arccos((ℓ₁² + (ℓ₃ − ℓ₂)² − ℓ₄²) ⁄ 2ℓ₁(ℓ₃ − ℓ₂)) =

= arccos((0,55² + (0,55 − 0,175)² − 0,325²) м ⁄ (2∙0,55(0,55 − 0,175)) м) =

= 0,81818181 рад.

Обобщенную координату φ_2,К механизма

φ_2,К = φ_3,К + (ω₂ ⁄ Ιω₂Ι)∙π = 0,81818181 рад + (17 рад/c ⁄ Ι−17Ι рад/c)∙π = −2,3218 рад.

Угловое перемещение кривошипа от нулевого положения

θ₂ = φ_2,К − φ_2,0 = −2,3218 рад − 0,4371 рад = −2,7589 рад.

Угловая координата φ_4,К коромысла

φ_4,К = arccos((ℓ₃ − ℓ₂cosφ_3,К − ℓ₁) ⁄ ℓ₄) =

= arccos((0,55 м − 0,175 м∙cos(0,81818181) − 0,55 м) ⁄ 0,325 м) =

= 2,378889 рад.

Угол качения коромысла (рабочий угол)

ψ = φ_4,К − φ_4,0 =2,378889 рад − 1,235899 рад = 1,142997 рад.

В методических указаниях [1], [3] приведены алгоритмы и программы расчетов диаграмм перемещений, скоростей и ускорений точки B коромысла кривошипно-коромыслового механизма (приложение 6, программа ДМ – 8) на языке Бейсик.