13 I. Равномерное распределение (дискретное)

ХR(n), n- число дискретов. Таблица распределения в этом случае имеет вид:

Х	х1	х2	…	хn
P			…

m_x=-среднее арифметическое.

Dx=

II. Биномиальное распределение

Пусть ХB(n,p), т.е. спектр возможных значений Ex={0,1,2,…,n}

P{X=k}=P_n,k(p)=, k Ex

Найдем m_x и D_x

m_x= (*)

Эту сумму можно свернуть двумя способами:

1) С использованием бинома Ньютона

/*Формула бинома Ньютона

(3) (q+p)ⁿ=_,q и p - произвольные действительные числа.

Если q+p=1, то бином Ньютона дает нормировку и возможность использовать различные операции */

Выражение (*) отличается от (3) на множитель k, поэтому (3) надо продифференцировать по k и умножить на p:

P[(q+p)ⁿ]'=m­_x=p(n(q+p)^n-1)_(q+p)=1=np

m_x=mp

Для вычисления дисперсии по формуле (2) находим :

=

[(q+p)ⁿ]'=[n(q+p)^n-1]=

p[np(q+p)^n-1]'_p==pn((q+p)^n-1₊(n-1)p(q+p)^n-2)= (т.к. q+p=1) =np(1+np-p)=np(q+np)=|q=1-p|=n²p²+npq

Dx=-= n²p²+npq- n²p²=npq

Dx=npq

2) С помощью производящей функции

/* Производящая функция для биномиального распределения:

(x)=(q+px)ⁿ=,где P_n,k - биномиальные вероятности.

m_x= '(x)|_x=1 =n(q+px)^n-1p=np(q+1-q)^n-1=np

=[x '(x)]'_x=1=np+xnp(n-1)p(q+px)^n-2=np(1+np-p)=np(np+q)

Dx=(np)²+npq-(np)²=npq

Dx=npq

III. Распределение Пуассона

Определение: Говорят, что Х подчиняется распределению Пуассона с параметром >0 (кратко пишут: XP_u()), если множество возможных значений Ex=={0,1,2,…},а соответствующие вероятности вычисляются так:

P_k=P{X=k}=(4)

Вычислим m_x и Dx.

Нормировка: ===1

m_x=======

====

=+=+=

Dx=

Dx=m_x=

X~P_u()  m_x=Dx=

X~B(n,p)  m_x=np, Dx=npq

Распределение Пуассона описывает:

- число атомов, распавшихся в единицу времени (радиоактивный распад)

- число независимых вызовов на АТС в единицу времени

IV. Геометрическое распределение

Определение: Говорят, что "Х распределена по геометрическому закону с параметром р>0 (Запись: Х~Гео(р)), если Ex=N, P{X=x_k}=q^k-1p

Это распределение встречается в опытах до 1-го успеха (включительно) по схеме Бернулли, где х-число проведенных опытов до 1-го успеха.

Нормировка: ===1

14 Пуасоновское распределение как предельный случай биномиального.

Теорема 6.1. Пусть X~B(n,p), причем положим =np, т.е. и устремим n( - некоторая константа) при этом  = const,  Pn,k()=== при n

Теорема показывает, что пир выполнении условий : n-велико, p-мало, -фиксированная — биномиальные вероятности хорошо аппроксимируются пуассоновскими.

Более тщательная оценка:

, для любых k=0,1,…,n

Интерпретация пуассоновского распределения, приходящая из биномиального, есть закон редких явлений.

Пример 1. Система коммутаций на АТС содержит n=50000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого за время Т равна p=210^-5

1. Найти среднее (по распределению) число отказавших за время Т элементов и наиболее вероятное число отказавших элементов.

2. Какова вероятность, что за время Т откажет не менее 2-х элементов?

Решение.

Очевидно, что Х-(число отказавших за время Т элементов)~В(50000, p=210^-5), но np= = 510⁴210^-5=1.

1) Используем аппроксимацию: m_x=np=1 — среднее число

Наиболее вероятное число отказавших элементов тоже равно 1 (P{X=k}=, P{X=k}= k=1)

2) Используем аппроксимацию Пуассона:

P{X2}=1-p{X<2}=1-p₀-p₁=1-e^-1- e^-1=1-2e^-1=1-0,7358=0,2642