1 Вводные понятия

Теория вероятностей изучает случайные явления окружающего мира

не посредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных экспериментов.

Всякий случайный эксперимент (испытание, опыт) состоит в осуществлении некоторого вполне определенного комплекса условий S и наблюдений результата. Примеры опытов:

1. Подбрасывание наугад правильной шестиугольной игральной кости.

2. Извлечение наудачу делали для контроля из большой партии деталей, изготовленной автоматической линией.

3. Эксплуатация данного радиотехнического устройства в определенных условиях до момента его отказа.

4. Радиолокационное обнаружение воздушной цели.

Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный ход

(случайное событие). При этом наблюдаемым результатом понимается всякий результат опыта, который может быть зарегистрирован с помощью того или иного прибора. Событие может произойти, а может и не произойти в результате эксперимента.

Определение. Исход опыта  наблюдаемый результат, т.е. такой результат, может быть зафиксирован с помощью того или иного прибора.

Пример. Эксперимент: извлечение наудачу детали для контроля из большой партии деталей. Наблюдаемый результат - наличие брака того или иного сорта

Каждому эксперименту (Э) ставится в соответствие множество элементарных исходов () Э. Под этим понимают множество взаимоисключающих исходов, таких, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

Определение. Любое подмножество множества элементарных исходов  называется случайным событием (может оказаться и ненаблюдаемым)

Определение. Поле событий — совокупность (система) наблюдаемых событийсистема подмножеств из множества элементарных исходов наблюдаемых событий.

Определение. Событие, совпадающее с пустым множеством  , называется независимым событием, а события, совпадающие со всем множеством  - достоверным событием.

Определение. Говорят, что событие А произошло (наступило, реализовалось), если результатом эксперимента явился какой-либо из элементарных исходов из множества А.

События подразделяются на совместные и несовместные

Определение. Любые два события, которые могут (не могут) одновременно являться результатом эксперимента, называются совместными (несовместными).

Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:

1. Конструирование множества элементарных исходов ;

2. Описание поля событий;

3. Задание вероятностного распределения на поле событий.

Любые 2 события, имеющие общие элементы, являются совместными.

Понятия, связанные с пунктами 2 и 3, будут определены в § ___. Конструирование множества  , если оно не задано при описании эксперимента, осуществляется неоднозначно и зависит от набора интересующих нас наблюдаемых событий. Для уяснения основных понятий следует примеры 1.3 на странице ____ в [ ] и решить ряд задач, например, 1.2, 1.2, 1.5, 1.6 и 1.8.

2 Алгебра событий

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями могут осуществляться все операции, выполнимые над множествами. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

Наименование операции	Для множеств	Для событий	Диаграмма Венна
1) АВ (отношение следования)	Множество А является подмножеством множества В	Событие А влечет за собой событие В
2) А=В (эквивалентность)	Множество А эквивалентно множеству В (A B и В  А)	События А и В тождественны, неотличимы
3) А+В - сумма	АВ Множество А объединяется со множеством В	Сумма событий - происходит хотя бы одно из указанных событий А или В
4) АВ – произведение	A B Пресечение множеств А и В	Произведение событий - новое событие, состоящее в том, что произошло сразу и событие А и событие В
5) А-В - hfpyjcnm	Все элементы принадлежат множеству А, но не принадлежат В	Разность cобытий -произошло событие А, но не произошло В
6)	( \ А)	Событие не происходит

Свойства операций сложения и умножения:

1) Коммутативность 2) Ассоциативность

А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С)

АВ=ВА (АВ)С=А(ВС)

3) Дистрибутивность

а) умножения относительно сложения (А+В)С=АС+ВС

б) сложения относительно умножения АВ+С=(А+С)(В+С)

Для событий операции сложения и умножения имеют одинаковый ранг.

Утверждение. Разность событий не является ассоциативной. Поясним это примером.

Пример 1. Пусть А, В - наблюдаемые события (А,В   ). Тогда (А-В)+В  А.

Поясним пример диаграммой Венна. На диаграмме изображены события A и В "в общей позиции". Легко видеть, что

 А+ВА

Пример 2. Пусть событие А влечет за собой событие В, тогда (А-В)+В=В

На диаграмме Венна изображены события А и В в указанном отношении.

Заметим, что А-В=, в силу отношения разности событий; отсюда  +B=B

Пример 3: Пусть событие B влечет за собой событие A, тогда (А-В)+В=А

Использовать диаграмму Венна

Отметим еще некоторые простейшие следствия из введенных операций.

Следствие 1. Пусть А={w₁, w₂ ,…w_m)   , тогда А= w₁+ w₂+…+w_m (любое событие есть сумма составляющих его элементарных исходов).

Следствие 2. Пусть А,В   и АВ=  A и В - несовместны.

Следствие 3. А+= (из определения противоположного события). Однако, если например, А+В= , то отсюда не следует, что В=

Следствие 4. Простейшие законы поглощения: А+А=А, АА=А, А=, А+=А, А  =А, А+ = ,

Следствие 5. Более общие законы поглощения А  В => АВ=А, А+В=В (1)

Справедливо и обратное: из любого равенства в (1) немедленно следует, что А  В

Следствие 6. Правила де Моргана

а) =(отрицание суммы есть произведение отрицаний);

б) =+ (отрицание произведения есть сумма отрицаний: хотя бы одно из событий не происходит);

Это правило можно распространить и на большее число событий, например:

===

Следствие 7. Всякое событие рассматривается в двух аспектах: в логическом и алгебраическом. При этом сначала событие формулируется логически, затем вводится алгебра, далее применяются правила вероятности.

Пример 4. Опыты до первого успеха. Производятся последовательные выстрелы по мишени до первого попадания. Событие А={придется производить третий выстрел}. Сконструировать в алгебре событий множества  и А.

Обозначим С_к={попадание при k-м выстреле}

 ={C₁, }

А={}

=(дополнение А до всего  )

=

=