11 Случайные величины

Пусть опыт полностью формализован, т.е. Э{, F,P}. Рассмотрим какую-либо функцию X(), , отображающую  в R ( =>R). При некоторых дополнительных условиях X() называется случайной величиной, т.к. можно лишь с вероятностью сказать, какое значение примет X().

Пример 5.1 3 Раза подбрасывается монета. Определим случайную величину Х — число выпавших гербов. Построить явно эту функцию.

Решение:

 ={111, 011, 101,110,100,010,001,000}

Всего исходов 2³=8, x 3,2,2,2,1,1,1,0

Определение: Ех={0,1,2,3} — множество возможных значений случайной величины.

Определение: Ех — спектр X()

Пример 5.2 Наудачу выбирается точка в единичном квадрате. Определть Z — расстояние от точки до начала координат. Выразить явно Z через исходы.

Решение.

 = {(x,y)}| 0x1, 0y1}

Z()=

Ez=[ 0,] —возможный спектр Z()

Ez—случайная величина непрерывного типа (в примере 5.1 Ez —случайная величина дискретного типа)

Определение: Случайной величиной называется числовая функция X() такая, что для любого х из ножества действительных чисел R (x  R ) множество тех , для которых выполняется условие X()<x принадлежит алгебре событий F для данного опыта. (Краткая запись: { | X()<x , x  R} F ). В дальнейшем будем писать сокращенно : {X<x}

Случайные величины связаны с неравенствами. Все неравенства измеримы.

Действительно, по определению алгебры {Xx}=

Событие {x₁Xx₂}={Xx₁}{X<x₂}  F, т.е. может быть рассмотрено, как произведение.

Рассматриваемая в примере 5.1 функция X() является случайной, т.к. —конечно, следовательно множество всех подмножеств из конечного множества также конечны, поэтому совокупность подмножеств автоматически образует алгебру.

Рассматриваемая в примере 5.2 функция Z() будет случайной, если в качестве алгебры событий F будет рассматриваться совокупность всех квадрируемых (по Лебегу) подмножеств из .

Функция распределения случайно величины и ее свойства.

Определение: Функцией распределения случайной величины X называется действительная функция действительного переменного, определяемая следующим равенством:

Fx(x)=P{X<x} (1)

Свойства Fx(x):

1. Fx(x) определена для любого х  R, причем 0Fx(x)1

2. Fx(-)=0, Fx(+)=1,т.к. события {X<-)=, {X<+)=

3. Fx(x) — неубывающая функция переменной х.

(Действительно, пусть х₁<x₂ => {X<x₁}{X<x₂}=>(по следствию из аксиом)

Fx(x₁)Fx(x₂)

4. Fx(x) — непрерывна слева для всех х  R

5. Вероятность попадания на полуинтервал P{x₁Xx₂}= Fx(x₂) - Fx(x₁) (2)

Доказательство:

Ясно, что {X<x₂}={X<x₁}+{x₁Xx₂}  P{x₁Xx₂}= Fx(x₂) - Fx(x₁)

Эти свойства универсальны, т.е. не зависят от ого дискретна или непрерывна функция X().

Определение: Случайная величина называется случайной величиной дискретного типа (СВДТ), если множество ее значений конечно, счетно и прерывно.

Определение: Случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа, если множество ее значений образует интервал на действительной оси.

12 Закон распределения случайной величины дискретного типа.

Определение: Законом распределения СВДТ называется таблица, состоящая из двух строк: в первой строке перечисляются все возможные значения случайной величины, а во второй строке указываются соответствующие вероятности их реализаций. При этом должно выполняться обязательное условие нормировки:

, х_k  Е_х

Пример 5.3 Описать закон распределения случайной величины Х из примера 5.1

Решение:

	Х	0	1	2	3
	P	1/8	3/8	3/8	1/8

P{X=0}=P{(000)}=

P{X=1}=P{(100)}+ P{(010)}+ P{(001)}=

Пример 5.4 Пусть Э — последовательность испытаний по схеме Бернулли. Рассмотрим случайную величину Х - число успехов в n опытах по схеме Бернулли. Описать Закон распределения случайной величины Х.

Решение:

Очевидно, что Ех={0,1,2,…,n}. Ясно, что событие {X=k}=Bn,k  по формуле Бернулли

(3) P{X=k}=, где Р — вероятность успеха в одном опыте;

q=(1-p); k=0,1,…,n

Определение: Распределение, описываемое формулой (3) , называется биномиальным распределением с параметрами n и p

(Кратко: ХB(n,p))

Пример 5.5 Убедиться, что распределение, полученное в примере 5.3 является биномиальным с параметрами n=3, p=

Решение:

Например, P{X=2}=.С другой стороны, если ХB(3,) P{X=2}==и т.д.

Пример 5.6 Описан закон распределения СВДТ, т.е. задана таблица. Построить функцию распределения Fx(x). Решение:

Fx(x)= P{X=x}=(5)

(5) говорит от том, что Fx(x) является функцией комплексных вероятностей.

Построим график Fx(x) для примера 5.3

Основные дисперсные распределения и их числовые характеристики.

Ключевым понятием является "момент распределения"

Момент распределения
Начальный момент S-го порядка S=, pk=P{X=xk}, xk Ex S=0,1,… 0=1(неинтересно)	Центральный момент S-го порядка Ms= pk=p{X=xk}, xk  Ex S=0,1,…M0=1 (неинтересно)

Определение: m_x=₁= называется математическим ожиданием (m_x - метка величины). Это среднее значение случайной величины Х по распределению (пример: формула центра тяжести). Часто m_x называют "центром распределения".

Определение: Dx=M₂=называетсядисперсией - степень разброса случайной величины.

Определение: Величина a_x=называется асимметрией, где —среднеквадратическое отклонение (— эталон разброса). Если=0, то такое ожидание называется симметричным.

Определение: e_x=-3называется эксцессом.

Преобразуем формулу (1):

Dx===-+==-

Dx=-(2)