9 Правила вычисления вероятностей сложных событий.

Определение.Сложным событиемназывается событие, выраженное в алгебре событий через другие события, наблюдаемые в этом же эксперименте.

Пример.С = АВ+D  C – сложное событие.

Перечислим все правила, используемые при вычислении вероятности сложного события.

Правило 1.Р(А) = 1-Р().

Правило 2. Формула сложения вероятностей для двух и большего числа событий.

Правило 1. Формула умножения вероятностей: из (1)  Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4)

Часто условная вероятность известна. В некоторых случаях вероятность можно вычислять как безусловную, путем сложения пространства.

Правило 4. Формула умножения вероятностей для 3-х и большего числа событий.

P(ABC)=P((AB)C)=P(C)P(AB/C)=P(C)P(A/C)P(B/AC)

Используя ассоциативные свойства, запишем:

Иначе мы можем записать полученный результат в виде формулы:

P(ABC)=P(A)P(B/A)P(C/AB)

Правило 5. Если события A₁,A₂,…A_n независимы в совокупности (это часто сформулировано в модели)  P(A₁+A₂+…+A_n)=1-P(₁)P(₂)… P(_n).

Перейдем к противоположному событию к сумме:

(по формуле де Моргана) =.

По правилу 1  P(A₁+A₂+…+A_n) = 1-Р() =1-P(₁₂… _n)=

1. =(независимость в совокупности; отрицание не влияет) =1-P(₁)P(₂)… P(_n)

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна Р = 0,7. Сделано пять независимых выстрелов. А = хотя бы одно попадание.

Р(А) = 1- P(₁)P(₂)… P(₅), где А_к = попадание при к-том выстреле

Р(А) = 1-0,035 = 0,9975.

Правило 6. Пусть построена система событий Н₁, Н₂,….,Н_n, удовлетворяющая условиям:

1. Н_к , к = 1,2,..,n;

2. Н_i,H _j  , i  j (Н_i и Н_j - попарно несовместны);

3. Н₁ + Н₂ +…+ Н_n = Ω для данного эксперимента;

Определение. Такая система образует разбиение  и называется полной группой независимых событий. События, образованные разбиением событий Н₁, Н₂,….,Н_n,называются гипотезами.

Теорема. Пусть Н_i  F, Н_i  и система Н₁, Н₂,….,Н_n - разбиение , тогда имеет место формула полной вероятности:

(5)

------------------------------------------------------------------------------------------

А=АΩ = А(Н₁ + Н₂ +…+ Н_n)=А Н₁ + АН₂ +….+АН_n = (в силу независимости А) => = (по формуле деления вероятности) = 

Пример 5: Партия транзисторов, среди которых 10% дефекта, поступает на проверку. Схема проверки такова: вероятность обнаружения ошибки 0,95, если она есть; 0,03 – вероятность, что исправленный транзистор будет признан дефектным.

Эксперимент: наудачу выбирается транзистор.

Решение:А=транзистор будет признан дефектным

Гипотеза: Н₁= транзистор на самом деле дефектный

Н₂ =

Заданы условия вероятности.

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₂)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)=0,10,05+0,90,003=0,095+0,027=0,122>P(Н₁)

Правило 7:(Формула Байеса в схеме полной вероятности)

Пусть событие А произошло. Какова при этом условии вероятность существования гипотезы Н_к? (Речь идет об условной вероятности) Р(Н_к/А)-?

(1)

Объяснение: Р(Н_к) –априорные вероятности гипотез

Р(Н_к/А) – апостериорные вероятности гипотез (послеопытные)

Пример 6:В условии эксперимента, описанного в примере 5, известно, что А произошло.

Р(Н₁/А) = ?

Решение:из (1) следует, что Р(Н_к/А)=>>Р(Н₁)

Если обнаружен дефект, то скорее всего дефект есть.

Задача (Пример 7): В лотерее выпущено 100 билетов, в которых два выигрышных. Студент купил два билета, но один потерял. Какова вероятность, что он выиграл. Сравните с той вероятностью, если бы он не потерял билет.