- •1 Вводные понятия
- •2 Алгебра событий
- •5 Аксиомы теории вероятностей и следствия из них
- •3 Формула классической вероятности (схема урн)
- •4 Схема геометрической вероятности.
- •6 Формула сложения вероятностей.
- •7 Условные вероятности. Независимость событий.
- •Вероятность осуществления b при условии, что произошло a в том же эксперименте, определяется через отношение двух безусловных вероятностей.
- •8 Зависимые и независимые события
- •9 Правила вычисления вероятностей сложных событий.
- •10 Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли.
- •11 Случайные величины
- •Функция распределения случайно величины и ее свойства.
- •12 Закон распределения случайной величины дискретного типа.
- •13 I. Равномерное распределение (дискретное)
- •II. Биномиальное распределение
- •III. Распределение Пуассона
- •IV. Геометрическое распределение
- •14 Пуасоновское распределение как предельный случай биномиального.
- •15 Свнт и их законы распределения.
- •3) Функция распределения всегда непрерывна у свнт.
- •16 Числовые характеристики свнт.
- •Если перейдем к функции распределения, то заметим, что hx – корень уравнения .
- •17 Основные классические распределения непрерывного типа и их характеристики.
- •19 Интеграл вероятности и его свойства
- •20 Случайные векторы
- •Свойства двумерной функции распределения.
- •21 Случайные векторы дискретного типа (свдт) и их законы распределения.
- •24 Независимость случайных событий.
- •23 Вероятность попадания в область на плоскости
- •25 Функция от случайных величин. Теоремы о мат. Ожидании функций.
- •26 Свойства числовых характеристик случайного вектора.
- •Следствия из свойства 5.
- •Доказать, что если 4, то автоматически существует 1, 2, 3, используя неравенство Коши-Буняковского.
- •Пусть Перейдем от(X,y) к(u,V)путем преобразования стандартизациирассмотрим
- •28 Законы распределения функций
- •31 Законы больших чисел.
- •Неравенства Чебышева. Первое неравенство Чебышева.
- •При увеличении числа опытов по схеме Бернулли относительная частота успехов
- •32 Центральная предельная теорема.
- •33 Следствия цпт для схемы Бернулли.
- •34 Основные понятия математической статистики.
Вероятность осуществления b при условии, что произошло a в том же эксперименте, определяется через отношение двух безусловных вероятностей.
Объяснение: рассмотрим классическую схему геометрической вероятности. Пусть A произошло A ( сужается до множества А: если А произошло, то ясно, что другие точки рассматривать незачем)
На долю B приходится та часть, которая пересекается с В, т.е. АВ
.
Определенная формулой (1) условная вероятность обладает всеми свойствами, которыми обладает безусловная вероятность. В частности,
P(/A)=1-P(B/A)
P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)
P(B1+B2/A)= =P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)
Сохраняются и все остальные свойства.
Пример 1. В условиях примера 1 из лекции 2 вычислить P(A/B), P(B/A).
Пусть A={появится картинка}, B={появится красная масть}
Из определения следует:
.
8 Зависимые и независимые события
Определение. События A и B называются независимыми, если выполняется условие:
P(AB)= P(A)P(B) (2)
Определение. Если (2) не выполняется, то события A и B - зависимые.
Следствие 1. Пусть А и В – независимые, причем P(A) 0, P(B)0. Тогда P(A/B)=P(A).
(Для независимых событий условная вероятность выполнения А при условии В, от В не зависит.)
Пример 2. Зависимые или нет события А и В из примера 1 ?
Необходимо проверить выполняется условие (2) или нет.
А и В – независимые.
Следствие 2. Если А и В независимые, то независимы также и следующие пары событий: А и ,иВ, и.
Достаточно доказать для пары А и .
А=А Ω=А(В+В)=АВ+А. Из аксиомы 3
.
Следовательно пара А и независимы.
Замечание: следствие сохраняет силу и для большего числа попарно независимых событий.
Если событий больше двух, то как понимать их независимость?
Определение. События A1,A2,…An называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества из этих событий { Ak1,Ak2,…,Akm}, m=1,2,….n, выполняется равенство:
P(Ak1,Ak2,…Akm)=P(Ak1)P(Ak2) …..P(Akm) (3)
Замечание: по парной независимости недостаточно для независимости в совокупности.
Пример 3 (Бернштейн). Опыт: тетраэдр, на каждой из трех сторон которого по одному цвету: красный, зеленый, синий, а четвертая грань имеет все три цвета., наудачу подбрасывается. События: грань, на которую упал тетраэдр, содержит данный цвет: красный, зеленый или синий.
Оказывается, что события К, З, С – попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.
Р(КЗ) = = Р(К)Р(З). Действительно, так как Р(К) = Р(З) =и события К и З - попарно независимы, то Р(К) = Р(З) =
Р(КЗС) = Р(К)Р(З)Р(С) =.
Следствие 3. (связь независимости с несовместностью) Если А и В – несовместны, причем Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то А и В обязательно зависимы.
Р(АB) = 0,т.к. АВ =(АиВнесовместны). С другой стороны, Р(А)Р(В) > 0(по условию)(2) не выполняется=> АиВ– зависимы.
Пример. Доказать, что из независимости двух событий вытекает их совместность.
Так как P(AB)=P(A)P(B) Р(АВ) > 0 AB AB – совместны.
Имеется два варианта моделирования эксперимента с учетом независимости:
модель полностью формализована , т.е. Ω , F, P - построена независимость событий устанавливается ( проверяется ) с помощью формулы (2);
при построении модели волевым усилием вносится а нее независимость событий для этих событий автоматически выполняется (2).
Примеры.
Различные стрелки стреляют по мишеням. Их результаты считаются независимыми.
Наличие брака того или иного вида в аппаратуре, производимой на различных предприятиях по различной технологии- события независимые.