Следствия из свойства 5.

1) При Y0  M ²[X] ≤ M[X ²] (или m²_x ≤ ₂ ) или: если  ₂   ₂ m_x=₁

Доказать, что если  4, то автоматически существует 1, 2, 3, используя неравенство Коши-Буняковского.

2) К_Х,Y ≤ _X_Y

Доказательство. В неравенстве Коши-Буняковского заменим X,Y   К_Х,Y ≤ _X_Y

Определение Число называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y .

Определение. Пусть X случайная величина с характеристиками m_x и _x 

Преобразованная величина ,

называется стандартизированной случайной величиной, так как

M[U]=0, D[U]=1.

5. Преобразуем случайные векторы (X,Y) в (U,V), где

(вектор (X,Y) подвергли преобразованию стандартизации), тогда _U,V=_X,Y.

Доказательство.

Таким образом, показано, что операция стандартизации не меняет коэффициента корреляции.

5. 

Доказательство.

Следует из определения _X,Y и следствия 2 из свойства 5.

5. Пусть Y=aX+b 

Обратно: Если  Y=aX+b,

где a>0, если

a<0, если

Доказательство.

Пусть Y=aX+b  M[Y]=aM[X]+b,

D[Y]=D[aX+b]=a²D[X].

Обратно.

Пусть Перейдем от(X,y) к(u,V)путем преобразования стандартизациирассмотрим

.

Так как D[U-V]=0, то U-V=const=c.



;



Y=aX+b, где a>0.

Случай рассматривается аналогично.

5. Из независимости X и Y  некоррелированность X и Y. Обратное не верно.

Доказательство.

Пусть X и Y СВНТи независимы



Тот факт, что обратное неверное демонстрирует следующий пример.

Пример 1. Пусть (X,Y) – C вектор дискретного типа с законом распределения, описываемым следующей таблицей.

X\Y	-1	0	1
-1	1/8	0	1/8
0	0	1/2	0
1	1/8	0	1/8

1. Показать, что (используя

2. Заметим, что ни в одной кдетке.

Пример 2.Пусть (X,Y) ~R (круге радиуса а). Показать, что , ноX и Y – зависимы.

27 Характеристическая функция и ее свойства.

Определение. Комплекснозначная функция действительного переменного t, определяемая равенством

, называетсяхарактеристической функцией случайной величины Х.

Воспользуемся формулой Эйлера:

Договоримся, что свойства линейности математического ожидания распространяется и на комплексные случайные величины.

(1)

Пример 1. Пусть X~P_u(). Вычислить характеристическую функцию E_x(t).

Решение.

По формуле (1) 

X~P_u()=E_x(t)=

Свойства характеристической.

1. E_x(t) – существует для любых распределений, причем E_x(t) ≤ 1, E_x(t)=1.

Доказательство.

Для определенности пусть Х~СВНТ  E_x(t)=. Оценим по модулю.

, .

2. Пусть Y=aX+b  E_y(t)=

Доказательство.

3) Пусть Y=X₁+ X₂+…+ X_n ,где X₁, X₂,…, X_n – независимы в совокупности 



Доказательство.

=(обобщение теоремы 11.2. на формулу вектора) == (в силу независимости) =

4)……… величины Х до n-го порядка включительно ( т.е.  , к=1,2,…,n , причем

Доказательство.

Для определенности рассматриваем СВНТ.

(2)

Проверим абсолютную сходимость интеграла:

- существует по условию 

• 

Из (2)  =

Продолжая дифференцирование под знаком интеграла, получим результат.

Пример 2. X~N(0,1). Вычислить Е_x(t).

Решение.

(по свойству 4.) 

=(возьмем интеграл по частям) = =



,

5) Применим операцию комплексного сопряжения, тогда:

Доказательство.

=

=

Следствие из свойства 5.

а) Если характеристическая функция действительная, то она обязательно четная.

Доказательство.

Пусть - (действительная) (из свойства 5)  . Это используется для отсеивания функций, которые «хотят» быть характеристическими, но не могут.

б) По характеристическими функции однозначно восстанавливается закон распределения случайной величины Х .

Доказательство. Если Х- СВНТ и E_x(t) удовлетворяем условиям Дирихле  плотность f_x(x) существует, причем: (3)

Пример 3. Пусть Х-СВНТ, причем задана характеристическая функция . Найтиf_x(x).

Решение.

По формуле (3) ==

=,

Х – распределен по Коши.

Пример 3.ПустьХ~N(m,). ВычислитьE_x(t).

Решение.

По формуле (1):

=- характеристическая функция общего нормального распределения.