10 Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли.

Опыт:последовательность вероятностных опытов Э₁, Э₂,…, Э_n. Рассматривается совместный результат.

Пусть для любого Э_кΩ_кмножество исходов этого опыта:

Ω = Ω₁х Ω₂х… хΩ_n=(₁,₂,…,_n) _к Ω_к .

Вероятность такого исхода:

Р (₁,₂,…,_n )=Р₁₂…_n=(по формуле умножения вероятностей)=

=Р(₁)Р(₂/₁)Р(₃/₂ )…Р(_n/₁₂_…._n-1) (2)

Частные случаи последовательности испытаний.

1. Р(_к/₁₂_…._к-1) = Р(_к/_к-1). Такая последовательность называетсяпростая цепь Маркова.

2. Для _к : Р(_к/₁₂_…._к-1) = Р(_к) т.е. не зависит от предшествующих исходов. Такая последовательность называетсяпоследовательностью независимых испытаний.

В (2) получим Р(₁₂_…._n)=Р(₁)Р(₂)….Р(_n) (3)

Пусть выполнены условия:

1. испытания независимы;

2. в каждом из испытаний наблюдается одно и то же событие А, причем если в каком-либо испытании А наступило, то «успех», если нет, то – «неудача» .

Ω_к = Y,, гдеY - успех и- неудача.

3. вероятность успеха не зависит от номера опыта, т.е. от Р(Y)=Р=const ,дляΩ_к.

Определение: Такая последовательность испытания называется схемой Бернулли.

Задача: Продели nиспытаний по схеме Бернулли. Вероятность успеха в одном опыте – Р

Рассмотрим событие:

B_n,m = вn опытах наступает ровноmуспехов

Тогда Ω = (₁,₂,…,_n)  _к =

! Это не классическая схема.

Действительно,

Р(0,0,0,….,0)=Р(0)Р(0)…Р(0)=(1-Р)ⁿ различны

Р(1,1,1,….,1)=Р(1)Р(1)…Р(1)=Рⁿ

Понять: из скольких исходов состоит наше событие?

Очевидно, что В_n,m=, где -слова, содержащие ровноmединиц расположенных в фиксированных клетках.

и - несовместныi  k.

Таких слов столько, сколько существует возможных сочетаний В_n,m=.

По аксиоме 3: , (4)

Введем обозначение: P_n,m(p)=D(B_n,m)

Формула Бернулли:

(4’),

где q=(1-p)

Пример 4.1Из множества чисел Е=1,2,….,10наудачу последовательно и с …. отбираются четыре числа.

А=будут присутствовать ровно два числа кратных трем

Решение:

1. Модель в сему укладывается;

2. «успех» это очередное вытянутое число кратное трем;

P=P(y)=0,3=3/10 => по формуле (4’) или (4)

Пример 4.2: Вывести следующую рекуррентную формулу:

(5)

Пример 4.3.Устройство состоит из 200 независимых работающих элементов. Вероятность «отказа» любого элемента схемы р=0,01. «Успех» – это отказ. Какое число отказавших элементов наиболее вероятно.

Решение:

Р_200,0(0,01)=(0,99)²⁰⁰

Р_200,1(0,01)=(приn=200 иm=0 )=>

Р_200,2(0,001)=(приn=200 иm=0 )=>

Р_200,3(0,01)=(приn=200 иm=1 )=>

Ответ: наиболее вероятное число отказавших элементов равно двум.

2) Полиномиальная схема _k={₁, ₂,…,_N}, k=1..N n-число проведенных опытов

Событие В_{n,m1,m2,m3,…,mN}=

{в n опытах исход ₁ осуществился m₁ раз,

в n опытах исход ₁ осуществился m₁ раз,

в n опытах исход ₂ осуществился m2 раза,

----------------------------------------------------

в n опытах исход _N осуществился m_N раз}

Это событие состоит из слов: символ _1­­ встречается m₁ раз, _2­ — m2 раза, и т.д. Каждое такое слово независимо от расстановки символов имеет вероятность , при этом выполнены условия:

1) m₁+m₂+…+m_N=N

2) P(_k)=P_k => P₁+P₂+…+P_N=1

Таких слов всего (по схеме упорядоченных событий):

, где m₁!m₂!… m_N! - число упорядоченных разбиений (равно числу слов)

Тогда общая вероятность P(B_n; m_1; m_2; … m_N )=

Пример 4.5 Два равносильных шахматиста играют матч из 12 партий (результат последующей не зависит от результата предыдущей. Множество исходов _k={1-й выиграл, 2-й выиграл, ничья} Вероятность того, что выиграет первый шахматист равна 0,2 ; второй —0,2; вероятность ничьи —0,6. Найдем вероятности А={1-й выиграл 3 партии, 3 — проиграл, остальные — ничья}, В={1-й выиграл матч, т.е. выиграл 6 партий}

Решение:

АВ12;3,3,6 => P(A)=0,0055

Можно упростить решение, использовав равносилие: либо один выиграл, либо ничья. P(B)-P(ничья в матче)=1

Р(ничья в матче)=Р(0,0,12)+Р(1,1,10)+…+Р(6,6,0)