23 Вероятность попадания в область на плоскости

Понятие "элемента вероятности" :

f_X,Y(x,y)dxdy=P{(x,y) П(x,y)}

(вероятность попадания в прямоугольник П(x,y))

7) Пусть G-некоторая область на плоскости, тогда вероятность попадания в эту область:

P{(x,y) G}=

Нужно разбить всю плоскость на элементы dxdy и просуммировать.

25 Функция от случайных величин. Теоремы о мат. Ожидании функций.

Определение. Пусть на вероятностном пространстве {Ω,F,P} заданы случайные величины X(w) и Y(w) и z=(x,y) – действительная функция от двух переменных  Z=(X,Y),при определенных условиях на случайные величины X и Y будет являться случайной величиной определенной на том же вероятностном пространстве.

? Как вычислить математическое ожидание M[Z]?

Теорема 11.1. (новая формула для математического ожидания).

Пусть X – случная величина дискретного типа с заданным законом распределения. Пусть математическое ожидание M[X] существует. 

(3)

Доказательство.

Нам известна следующая формула из определения математического ожидания:

. (4)

Отличие формул (3) и (4): в (3) возможны повторения значения X(w_i).

Разобьем все значения X(w_i) на блоки:

B_k={w_iX(w_i)=x_k, iI_k},

где I_k – множество индексовk-гоблока.

По правилам теории вероятностей мы можем записать:

Преобразуем (4) следующим образом:

что и требовалось доказать.

Теорема 11.2. (о математическом ожидании функции).

Пусть Х – СВДТ с заданным законом распределения и Z=(X) – новая случайная величина, где (х) – некоторая действительная функция действительной переменной.

Тогда (5)

Доказательство.

Используем разбиение на блоки из Т.11.1. 

что и требовалось доказать.

Обобщение теоремы 11.2.

(6)

Замечание. Как показывает (6) для вычисления математического ожидания от функции Z=(X,Y) не надо знать закон распределения этой новой случайной величины, а достаточно знать закон распределения, того вектора, от которого она зависит.

Пример 3. На круговом индикаторе цели радиуса а наблюдается световое пятно, отраженное импульсом от цели. Будем считать, что на этапе поиска цели пятно появляется наудачу в  месте экрана.

Найти среднее (по распределению) значение расстояния от центра экрана до светового пятна.

Решение.

Формализуем задачу: пусть (X,Y) – случайные координаты центра пятна (точка). По описанию эксперимента:

(X,Y) R (в круге радиуса a) 

Нас интересует M[Z],

где

По формуле (6):

Замечание. Формула (6) позволяет оправдать следующие обозначение для моментов случайного вектора ( типа):

что совпадает с определением из лекции10.

В частности, , то есть дисперсия – математическое ожидание квадрата случайной величины.

K_x,y=, где

K_x,y – ковариация.

26 Свойства числовых характеристик случайного вектора.

1. Линейность.

Доказательство.

Для дискретного случая:

Следствия из свойства 1.

1. M[c]=c;

2. M[aX]=aM[X] (математическое ожидание как спектр);

3. Если X ≥ 0  M[X]≥ 0  Y ≥ X  M[Y] ≥ M[X].

2. 

Доказательство.

По новому определению дисперсии:



Достаточно возвести в квадрат и воспользоваться свойством 1.

Следствия из свойства 2.

1)

2) D[X] ≥ 0;

3) D[c]=0;

4) Если D[X]=0  X-const.

Свойство 2 в общей формулировке:

Определение. Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если K_X,Y=0.

3. M[XY]=M[X]M[Y]+K_X,Y.

Доказательство.

На практике это свойство используется для следующей записи:

Следствия из свойства 3.

Если K_X,Y =0, то M[XY]=M[X]M[Y]

Замечание. Для большого числа случайных величин (≤ 3) некоррелированности недостаточно для распределения математического ожидания  должны быть независимы в совокупности.

M[XYZ]=M[X]M[Y]M[Z], если X,M, Y, Z независимы в совокупности.

4. Если X и Y независимы  D[XY]=D[X]D[Y]+m²_x D[Y]+ m²_y D[X]

5. Неравенство Коши-Буняковского

M ²[XY]=M[X ²]M[Y ²]

Доказательство.

Рассмотрим неравенство M[(aX+Y)²] ≥ 0,  а  R или M[a ²X+2aXY+Y] (по свойству линейностью) = a ²M[X ²]+2aM[XY]+M[Y ²] ≥ 0  (дискриминант = 4 M ²[XY]-4 M[X ²]M[Y ²] ≤ 0  результат.