3 Формула классической вероятности (схема урн)

Пусть выполнены два условия:

3. Ω =₁, ₂,…, _n (множество  - конечное)

4. P(₁)=P(₂)=…= P(_n) ( исходы равновероятны)

Тогда справедлива формула классической вероятности:

, где - число элементовА, - число элементовΩ.

В силу конечности  , алгебра F - система всех подмножеств из  - является алгеброй  любое подмножество из  - наблюдаемое событие. Тогда А =_k1, _k2,…, _km, /А/=m

Т.к. Ω =₁+₂+…+_n  (по аксиомам 2,3)  1=Р(₁)+Р(₂)+Р(_n)=рn, где p=p(_k), k=1,2,..,n  p=1/n P(A)==

Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну карту. Найти вероятность события С=появится картинка или карта красной масти.

Логика => Алгебра => правила исчисления вероятности сложных событий. Ключевым является слово “наудачу”, что оправдывает применение схемы классической вероятности => C=A+B, где А=появится картинка, В=появится карта красной масти.

По Ф.С.В.(2)  P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=.

4 Схема геометрической вероятности.

Распространим классическую схему на случай, когда Ω – непрерывно (континуум). Пусть Э. (эксперимент) удовлетворяет следующим условиям:

1. Ω – квадрируемая область (имеет площадь) на плоскости;

2. А  Ω – любая квадрируемая подобласть из Ω;

3. Эксперимент состоит в выборе наудачу точки из Ω (т.е. вероятность попадания в любую подобласть из Ω не зависит от ее расположения, а только от ее размера)  справедлива формула геометрической вероятности: (6)

Заметим, что квадрируемость понимается как площадь в смысле меры Лебега, а не меры Римана.

Обобщение Ф.Г.В. на случай евклидова пространства Rⁿ: (7)

Пример 2. Задача о встрече (на семинаре). См задачу 14.148, 14.149 в [ ]

Пример 3. Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми линиями на расстоянии 2а друг от друга, наудачу бросается игла диной 2l (l<<a). Найти вероятность следующего события А=игла пересечет какую-либо из параллельных прямых линий.

Будем описывать положение иглы двумя координатами:  - угол, y – расстояние до ближайшей прямой.

(,y) – положение иглы по отношению к ближайшей прямой.

Ω = (,y ) 0, 0уа

А = (,y ) 0 уlsin; 0 }

Если l=a/2  P(A)=1/

6 Формула сложения вероятностей.

Для А,В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (2)

A+B=(A+B)Ω=(А+В)(А+)=A+A+AB+B=A+AB+B=A+BP(A+B)=P(A)+P(B) (3)

По формуле (1): B=AB+B  (по аксиоме 3) P(B)=P(AB)+P(B).

Подставим в формулу (3): Р(В)=P(B)-P(AB)  P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

В частном случае, когда А,В - несовместны => P(AB)=0 => аксиома аддитивности.

6) Формула сложения для 3-х событий.

P(A+B+C)=P((A+B)+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-(P(AC)+P(BC)-P(ABC))=

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) (4)

7) Для  А₁, А₂,….,А_n :

= (5)

Задача (о рассеянной секретарше):Даноnписем иnконвертов.Cекретарша все перепутала и отослала наудачу. Какова вероятность, что хотя бы один из адресатов получит свое письмо? См. задачу №14.221 в[]

7 Условные вероятности. Независимость событий.

Аксиома 4. , P(A) 0. (1)