19 Интеграл вероятности и его свойства

Определение: если XN(0,1), то , называется стандартизированным нормальным распределением. Для него функция распределения имеет вид -интеграл вероятности.

Если XN(0,1) (стандартизованное нормальное), то её функция распределения обозначается:

F_x(x)=

Существуют таблицы для x  [0,4], для x>4 с хорошей точностью получается 1.

обладает свойством:

(1)

легко можно получить значения дляx<0.

Остальные свойства функции распределения у сохраняется.

Общий случай.

Пусть XN(m,).

Вероятность попадания на интервал:

Вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал.

(3)

Пример 1 XN(m,). Вычислить: ,k=1,2…

Определение: X-m называется отклонением от математического ожидания.

Решение.

На практике это называется правилом 3-х .

Функция ошибок: ,

Для больших х(>>1) используется асимптотическая формула:

,

при х>4 уже 3 числа ряда дают ошибку ≤ .

20 Случайные векторы

Определение: пусть в данном эксперименте определенны n случайных величин: X₁(w), X₂(w)…X_n(w). Рассматривая их совместно можно получить вектор X={ X₁(w), X₂(w)…X_n(w)}. Для этого вектора определенны все случайные события.

Для каждого такого вектора можно построить многомерную функцию распределения: .

.

Подробнее остановимся на двумерном случайном векторе и опишем свойства функции распределения.

Свойства двумерной функции распределения.

1).

Геометрически:

y

(x,y)

Г(x,y) Вероятность попасть в прямой угол на плоскости.

xгде .

2)

3)

Доказательство.

Аналогично для

3. - неубывающая функция по каждой переменной

Доказательство.

Пусть x₂>x₁  {X<x₁,y}<{X<x₂,y}  по свойству вероятности получаем результат.

4. - непрерывна слева по каждому аргументу.

(смотри одномерный случай).

5. Вероятность попадания в прямоугольник:

П={(x,y) x₁≤ x<x₂, y₁≤ y<y₂}

у

у₂

П

у₁

х

х₁ х₂

P{(Х,Y)  П}= Р{х₁ ≤ Х < х₂, y₁ ≤ Y< y₂}= F_X,Y(x₂, y₂) + F_X,Y(x₁, y₁) - F_X,Y(x₁, y₂) -

- F_X,Y(x₂, y₁) (4)

Доказательство.

Рассмотрим событие A_ij={X<x_i,Y<y_j}.

Событие C=A₁₂+A₂₁.

Учтем, что A₂₂=П+С, причем ПС=  по аксиоме сложения:

Р(А₂₂)=Р(П)+Р(С) Р(П)=Р(А₂₂)-Р(С)=Р(А₂₂)-Р(С)=Р(А₂₂)+Р(А₁₁)-Р(А₁₂)-Р(А₂₁).

21 Случайные векторы дискретного типа (свдт) и их законы распределения.

Определение: случайный вектор (СВ) называется СВДТ, если множество его возможных значений E_X,Y – конечно или счетно.

Определение: закон распределения СВДТ – это таблица вида:

xi	y1	y2	……..	ym	pi=Px= xi
x1	p11	p12	…….	p1m	p1
x2	p21	p22	…….	p2m	p2
…….	………..	……….	…….	…….	…….
xn	pn1	pn2	…….	pmn	pn
pj=PY= yi	p1	p2	…….	pm	1

Необходима нормировка:

Можно использовать свободные строку и столбец (6-ые).

Возникают следующие задачи:

Задача 1. По известному закону распределения СВ (X,Y) (известна основная таблица) восстановить законы распределения отдельных компонент.

Решение.

Рассмотрим в качестве гипотез.

H_j={Y=y_j}  P{X=x_i}=



 в последнем столбце записываются .

Задача 2. Можно ли и как это сделать?

По закону распределения отдельных компонент восстановить закон распределения всего вектора (обратная задаче 1).

Решение.

/*Задача не решается однозначно.*/

Пусть X и Y распределены одинаково согласно таблицам.

X	-1	1
p	½	½

Y	-1	1
p	½	½

Построим следующие две таблицы:

xi\ yi	-1	1	pi
-1	½	0	½
1	0	½	½
pj	½	½	1

xi\ yi	-1	1	pi
-1	¼	¼	½
1	¼	¼	½
Pj	½	2	1

Два абсолютно разных распределения  Восстановить однозначно нельзя.

Задача 3. По закону распределения СВ (по известной таблице) построить функцию распределения F_X,Y(x,y)

Решение.

F_X,Y(x,y)=P(X,Y) Г(х,у)=

Задача 4. (обратная к задаче 3). По заданной функции распределения восстановить таблицу распределения.

Решение.

1. Выявим точки скачка функции распределения  восстановим спектр.

2. Определим вероятность каждого дискрета.

Пример:

y

x x x

x x x

Берем малый прямоугольник (см. рисунок) и используем формулу попадания в прямоугольник.

Числовые характеристики случайного вектора.

1) Момент распределения.

_k,s=

_k,s=

k+s - суммарный порядок момента

	Начальные моменты	Центральные моменты
k+s=0	0,0	0,0=1
k+s=1	1,0===|Pij=Pi|==mx 0,1=mx	1,0=0
	0,1==| рассуждаем аналогично|= my 0,1= my	0,1=0
k+s=2	2,0=M[X2]	2,0=Dx
	0,2=M[Y2]	0,2=Dy
	1,1=M[XY]	1,1=Cov(X,Y) - ковариация 1,1= Cov(X,Y)=KX,Y X,Y=-нормированная ковариация или коэффициент корреляции

Пример 2. Вычислить коэффициент корреляции для примера 1.

Решение. Из первой таблицы следует:

m_X=; m_Y=;

_1,1;_1,1= _1,1 - m_X m_Y