ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________53
должно выполняться неравенство 1 −2αβ > 0 , которое и задает область асимптотической устойчивости в пространстве параметров.
Упражнения
Пользуясь критерием Рауса-Гурвица, исследовать на устойчивость следующие системы и уравнения
|
|
|
|
0 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
& |
|
3 0 −2 |
|
x |
|
|
x = |
|
|||||
|
|
|
|
5 −4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
& |
|
−3 |
|
|
x |
|
x = |
|
−1 1 |
|||||
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
0 |
0 |
−1 |
|
||
|
& |
|
−1 0 |
0 |
|
x |
|
5) x = |
|
|
|||||
|
|
|
α |
β+1 |
β |
|
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
& |
|
|
|
−1 |
|
x |
x = |
1 0 |
|
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|||
4)x(5) +3x(4) +10x(3) +22&x&+23x& +11x = 0
6)x(4) + x(3) + 2&x&+ x& +3x = 0 .
§ 7. Критерий Михайлова
Пусть f(z) = a0 +a1z +... +a n zn – стандартный полином с вещественными
коэффициентами степени |
n ≥1 |
( a0 > 0, an ≠ 0 ). |
О п р е д е л е н и |
е 1. |
Кривая на комплексной плоскости, задаваемая |
уравнением z = f (iω) ( 0 ≤ ω< +∞), называется годографом Михайлова.
Лемма 1. Стандартный полином f (z) степени n , не обладающий чисто мнимыми корнями, имеет ровно m корней с положительной вещественной частью (0 ≤ m ≤ n) с учётом их кратностей тогда и только тогда, когда угол Φ поворота против хода часовой стрелки ненулевого вектора f (iω) при возрастании параметра ω от 0 до + ∞ равняется
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________54
Φ = |
π (n −2m). |
(1) |
|
2 |
|
□ Введем следующие обозначения |
|
|
− αi ± iβi , |
αi ,βi > 0 , |
i =1,2,...,p1 , |
– это 2p1 комплексно-сопряженных корней стандартного полинома f (z) с отрицательными вещественными частями;
αˆ j ±iβˆ j, αˆ j,βˆ j > 0, j =1,2,...,p2 ,
– 2p2 комплексно-сопряженных корней того же многочлена с положительными вещественными частями;
− γk , |
γk > 0 , |
k =1,2,...,q1 , |
– его отрицательные вещественные корни; |
||
γˆ l , |
γˆ l > 0 , |
l =1,2,...,q2 , |
– его положительные вещественные корни. Очевидно, 2p1 + 2p2 + q1 + q2 = n . Справедливо разложение многочлена на множители
f (z)= an ∏n (z −z j )= an ∏p1 ((z +αi )+iβi ) ((z +αi )−iβi ) ∏p2 ((z −αˆ j )+iβˆ j )
j=1 |
i=1 |
((z −αˆ j )−
|
j=1 |
q |
q |
iβj ) ∏1 |
(z + γk ) ∏2 (z − γˆ1 ). |
k=1 |
l=1 |
Поэтому
f (iω)= an ∏p1 (αi2 +βi2 −ω2 + 2iαiω) ∏p2 (αˆ 2j +βˆ2j −ω2 −2iαˆ jω)
i=1 |
j=1 |
∏q1 (γk +iω) ∏q2 (− γˆl +iω).
k=1 |
l=1 |
Следовательно,
Φ = r Argf (i )= Argf (iω)ω=+∞ω= lim Argf (iω)− Argf (0),
ω=0 ω→+∞
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________55
где |
r – приращение аргумента (обозначаемое Arg) годографа Михайлова в |
|||||||||||||||||||||||||
пределах от ω= 0 |
до |
|
ω= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Используя правило |
Arg(z1 z2 )= Arg z1 + Arg z2 , получим |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
r Arg(αi2 |
|
|
|
|
+ 2iαiω)+ |
|
|||||||
|
|
|
Φ = |
r Arg an |
+ ∑1 |
+βi2 −ω2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
p |
r Arg(αˆ 2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||
|
+βˆ 2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r Arg(− γˆ l |
|
|||||||
|
+ ∑2 |
−ω2 |
−2iαˆ jω)+ ∑1 |
r Arg(γk +iω)+ ∑2 |
+iω), |
|||||||||||||||||||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
l=1 |
|
|
|||||
где под |
Arg z понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной функ- |
|||||||||||||||||||||||||
ции |
arg z +2πk |
|
(k = 0,±1,±2,K) |
и |
arg z – главное значение аргумента: − π< |
|||||||||||||||||||||
arg z ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для определенности будем считать, что при |
|
ω= 0 |
аргументы всех сла- |
||||||||||||||||||||||
гаемых в (*) равны их главным значениям. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Последовательно находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
r Arg a n |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r Arg(αi2 |
+βi2 −ω2 |
+ 2iαiω)= Arg(K) |
|
ωω==+∞0 = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
→}+∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64748 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
−ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim Arg |
αi |
+βi |
|
|
+2iαiω −0 = π; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ω→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64748 6→7−8∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Arg |
αˆ |
2 |
+βˆ2 |
−ω2 −2iαˆ ω |
|
= Arg(K) |
|
ω=+∞ = lim (K)−0 = −π; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
ω=0 |
ω→+∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim (K)−0 = π ; |
|
|||||
|
|
|
r |
Arg(γ |
k |
+ iω) |
= Arg(K) |
|
ω=+∞ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω=0 |
ω→+∞ |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Arg(− γˆ |
+iω)= Arg(K) |
|
ω=+∞ = lim (K)− π = π − π = − π . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω=0 |
ω→+∞ |
|
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно,
Φ = p1π − p2 π + q1 π2 − q2 π2 = π2 (2p1 − 2p2 + q1 − q2 )= π2 (n − 2m);
где n = 2p1 + 2p2 + q1 + q2 ; m = 2p2 + q2 . Из полученного немедленно следует утверждение леммы ■
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________56
Заметим, что условие отсутствия у полинома f(z) чисто мнимых корней
означает, что годограф Михайлова не проходит через начало координат комплексной плоскости.
Теорема 1 (Критерий А. В. Михайлова) Для того чтобы стандартный полином f(z) степени n ≥1, не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы
Φ = π2 n ,
т. е. чтобы угол поворота против часовой стрелки вектора f (iω) при возрас-
тании параметра ω от 0 до + ∞ равнялся π2 n
■ Теорема сразу следует из доказанной леммы 1 при m = 0 ■
Следствие 1. Если для стандартного полинома степени n имеет место неравенство
Φ< π2 n
то он не является полиномом Гурвица.
В следующей теореме исследован характер изменения вектора f (iω) при возрастании параметра ω от 0 до + ∞. В ней и далее, говоря о вещественной полуоси Rez > 0 (или Rez < 0 ), мы будем иметь в виду не полуплоскость, задаваемую указанным неравенством, а ту часть вещественной оси комплексной плоскости, которая отвечает положительным (отрицательным) значениям этой
оси. Аналогичная запись будет использоваться для соответствующих частей мнимой оси комплексной плоскости.
|
|
Теорема 2. Если стандартный полином f (z) |
степени n является поли- |
||
номом Гурвица, то вектор f (iω) |
при возрастании параметра ω от |
0 до |
|||
+ ∞ |
π |
монотонно поворачивается |
против хода |
часовой стрелки на |
угол |
Φ = |
n . |
|
|
|
|
|
2 |
Обратно, если годограф Михайлова стандартного полинома f (z) |
сте- |
||
|
|
||||
пени n без чисто мнимых корней, выходя из точки |
f (0)= a0 > 0 положитель- |
||||
ной полуоси Rez > 0 , при возрастании ω от 0 до |
+ ∞ последовательно по |
одному разу пересекает n −1 полуосей Imz >0, |
Rez < 0 , Imz < 0, …, асим- |
птотически приближаясь к n-ой по счету полуоси, то f (z) – полином Гурви-
ца.
□ В первую очередь докажем прямое утверждение. Так как стандартный полином f (z) является полиномом Гурвица, т. е. имеет лишь корни с отрица-
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________57
тельными вещественными частями, то угол Φ поворота годографа Михайлова f (iω) при изменении параметра ω от 0 до + ∞ однозначно определяется слагаемыми вида
|
|
|
|
|
ϕ |
(ω)= Arg(α2 |
+β2 −ω2 +2iα |
i |
ω), |
i =1,...,p , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕk (ω)= Arg(γk + iω), |
k =1,...,q1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
причем n = 2p1 + q1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
до π |
Проверим, что эти величины монотонно возрастают от |
0 |
|
до π |
и от 0 |
|||||||||||||||||||||||
соответственно при возрастании ω от 0 |
до + ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
Сначала рассмотрим |
|
ϕk (ω). Поскольку |
|
ω растет от 0 до + ∞, получаем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
монотонное возрастание |
Im(γk + iω) от |
0 до |
+ ∞. Следовательно, ϕk (ω) мо- |
|||||||||||||||||||||||||
нотонно возрастает от 0 |
до |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕi (ω). Пусть сна- |
|||
|
Перейдем к изучению характера поведения величины |
|||||||||||||||||||||||||||
чала |
ω возрастает от 0 до |
|
|
αi2 |
+βi2 . В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Im(α2 |
+β2 |
|
−ω2 + 2iα |
ω) |
монотонно возрастает от 0 до 2α |
|
α2 +β2 , |
||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
+ 2iαiω) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−ω |
|
|
|
|
|
|
+ |
до0. |
|
||||||||||||||||
|
Re(αi |
+βi |
|
|
монотонно убывает от αi |
βi |
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
ϕi (ω) монотонно возрастает от 0 до |
π |
при изменении ω от |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 до |
αi2 +βi2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Далее, если ω растёт от |
αi2 +βi2 |
до |
|
|
+ ∞, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Im(α2 |
+β2 −ω2 +2iα |
ω) монотонно возрастает от 2α |
|
|
α2 |
|
+β2 до +∞, |
||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
+2iαiω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−ω |
монотонно убывает от 0 до −∞. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Re(αi |
|
+βi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Поскольку в вещественной части выражения |
|
|
αi2 +βi2 |
−ω2 + 2iαiω стоит вторая |
||||||||||||||||||||||||
степень ω2 |
|
со знаком –, а в мнимой части того же выражения записана первая |
||||||||||||||||||||||||||