ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________58

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________59

ω→ +∞, причём степень ω во втором выражении (мнимой части f(i ω) ) больше степени этого параметра в первом выражении (вещественной части f(i ω) ). В соответствии с теоремой 2 f(z) = z3 +4z2 +9z +1 является полино-

мом Гурвица.

Продолжим получение необходимых и достаточных условий того, что стандартный полином f(z) = a0 +a1z +... +a n zn является полиномом Гурвица. С этой целью введём вещественную g и мнимую h части f(iω) :

f(iω) = g(ω) +i h(ω) ,

g(ω) = a0 − a2ω2 + a 4ω4 − a6ω6 +K,

h( ω) в сумме имели n неотрицательных корней, которые не совпадают друг с другом и перемежаются, т. е.

0 = ω1 < ω2 <K< ωn ,

и, кроме того, a1 > 0 .

□ Необходимость. Так как f(z) – полином Гурвица, то у него все коэффи-

циенты положительны и он не имеет чисто мнимых корней. По теореме 2 существуют такие неотрицательные числа ω1 , ω2 ,..., ωn , что

причем 0 = ω1 < ω2 <K< ωn .

Последнее равенство в цепочке (*) зависит от чётности степени полинома f(z) . Так, если n = 2k +1, то h( ωn ) = 0 , а если n = 2k , то g( ωn ) = 0 .

Поскольку вещественная часть g(ω) годографа Михайлова является

чётной функцией, а мнимая часть – нечётной, то полиномы g и h имеют в сумме не более n неотрицательных корней.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________60

не обращаясь в нуль, монотонно поворачивается против хода часовой стрелки (так как h( ω1 ) = 0, g( ω1 ) = a0 > 0, g( ω2 ) = 0,K и a1 > 0 ), последовательно

пересекая полуоси Re z > 0 , Im z > 0 , Re z < 0 , Im z < 0 , …, проходя n квадран-

тов. Значит Φ = π2 n . Согласно теореме 2 отсюда следует, что f(z) – полином

Гурвица ■

З а м е ч а н и е 1 (о распределении знаков полиномов h и g). Полиномы h и g имеют следующие знаки:

Упражнения

С помощью критерия Михайлова исследовать на устойчивость следующие уравнения:

1)x(4) + x(3) +5x& +16x = 0 ,

2)2x(4) +11x(3) + 21&x&+ 25x& + 7x = 0 ,

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________61

3)x(5) + x(4) + 2x(3) +3&x&+ 4x& +5x = 0 ,

4)x(3) + 3&x&+ 4x& +17x = 0 .

§ 8. Теорема Харитонова

При формировании системы дифференциальных уравнений, моделирующей те или иные реальные процессы, неизбежно возникают погрешности и ошибки, которые приводят к тому, что участвующие в математической модели параметры и коэффициенты не могут быть определены точно. Чаще всего удается указать лишь интервал, которому должен принадлежать тот или иной коэффициент. В случае, если в роли указанной математической модели выступает линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то отмеченная неточность будет проявляться и в коэффициентах характеристического полинома, расположение корней которого на комплексной плоскости, как мы знаем, существенным образом влияет на устойчивость и асимптотическую устойчивость системы. В этой связи важным с практической точки зрения является вопрос получения необходимых и достаточных условий того, чтобы полиномами Гурвица были все полиномы, коэффициенты которых расположены в некоторых интервалах. Такого рода условия излагаются ниже.

О п р е д е л е н и е 1. Интервальным полиномом называется множество полиномов вида

О п р е д е л е н и е 2. Интервальный полином называется полиномом Гурвица, если все полиномы, образующие его, являются полиномами Гурвица.

Теорема 1 (В.Л. Харитонов1). Для того чтобы интервальный полином (1) был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы следующие четыре “угловых” полинома

f1( z) = a0 +a1z +a2z2 + a3z3 + a4z4 +K,

f2 ( z) = a0 + a1z + a2z2 +a3z3 +a4z4 +K,

f3( z) = a0 + a1z +a2z2 +a3z3 + a4z4 +K,

f4 ( z) = a0 +a1z + a2z2 + a3z3 +a4z4 +K,

1 Ученик В.И. Зубова, В.Л. Харитонов является профессором кафедры теории управления факультета ПМ-ПУ.