ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________77
ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова.
§ 1. Знакоопределенные функции
Рассмотрим вещественную непрерывную числовую функцию
V = V(t, x ) Ctx (Z),
где
Z = {(t, x) | t ≥ 0, || x || ≤ H } |
при некотором H > 0. |
О п р е д е л е н и е 1. Функция V(t,x) называется положительно (отри-
цательно) определенной в Z, если существует непрерывная числовая функция
W(x) C(||x|| ≤ H), такая, что
V(t, x ) ≥ W(x) > 0 |
(t, x) Z, |
x ≠ 0, |
(V(t, x) ≤ –W(x) < 0 |
(t, x) Z, |
x ≠ 0) |
V(t, 0) = W(0) = 0 |
t ≥ 0. |
|
Следует заметить, что в качестве W(x) из приведённого определения иногда удается использовать функцию вида
W(x) = inf V(t, x) .
t≥0
О п р е д е л е н и е 2. Положительно или отрицательно определенную функцию именуют знакоопределенной.
Пример 1. Рассмотрим функцию
V1 = x2 + y2 – 2axy cost.
Если |a| < 1, то она является положительно определенной, так как
V1(t, x, y) ≥ x2 + y2 – 2|a| |x| |y| ≥ ( 1 – |a| )( x2 + y2 ) := W(x, y),
причем
W(x, y) > 0 x, y : x2 + y2 > 0; V1(t, 0, 0) = 0.
ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________78
При a = 1 функция V1 имеет вид
V1 = x2 + y2 – 2xy cost.
Если предположить, что она в этом случае положительно определена, то для некоторой функции W1 должно выполняться V1(t, x, y) ≥ W1(x, y) > 0 для всех t ≥ 0 и всех x, y, таких, что ||(x, y)|| ≤ H и одновременно не обращаю-
щихся в нуль. Однако, например, при x = y = H |
3 |
и t = π+ πk , k = 1,2,..., |
|
|
получаем противоречие V1(t, x, y) = 0 ≥ W1(x, y) > 0, которое говорит о том, что на самом деле функция V1 не является положительно определенной; она лишь неотрицательна.
Аналогично можно убедиться, что функция V1 также не является поло-
жительно определенной при a = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
О п р е д е л е н и е 3. Функция V(t, x) |
имеет (допускает) бесконечно ма- |
||||||||||||
лый высший предел (б.м.в.п.), если V(t,0) = 0 |
при всех t ≥ 0, причём эта функ- |
||||||||||||
ция непрерывна по х в точке х = 0 равномерно относительно t ≥ 0, т.е. |
|||||||||||||
( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0): |
|
V(t,x) |
|
< ε |
t ≥ 0 , x : |
|
|
|
x |
|
|
|
< δ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
З а м е ч а н и е 1. Если функция V = V(x) непрерывна в начале координат и V(0) = 0, то, очевидно, V допускает б.м.в.п.
З а м е ч а н и е 2. Для того чтобы установить, что функция V(t, x) имеет б.м.в.п., достаточно убедиться в существовании непрерывной в точке х = 0 функции W(x), удовлетворяющей следующим двум условиям:
1) W(0) = 0; |
|
|
|
||||||||
2) |V(t, x )| ≤ W(x) для всех (t, x) Z. |
|
|
|
||||||||
Пример 2. Функция |
|
|
|
||||||||
V1 = V1(t, x) = x2 + y2 – 2axy cost |
(|a| < 1) |
|
|
||||||||
на основании замечания 2 допускает б.м.в.п. в силу |
|
|
|
||||||||
|V1| ≤ x2 + y2 + 2 |
|
x |
|
|
|
y |
|
= (|x| + |y|)2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тогда как функция |
|
|
|
||||||||
V2 = sin2(t ||x||) |
|
|
|
||||||||
не допускает б.м.в.п. не смотря на то, что она ограничена и |
V |
→ 0 (так как |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||x||→0 |
отсутствует равномерная непрерывность этой функции в точке |
х = 0 относи- |
||||||||||
тельно t ≥ 0). |
|
|
|
||||||||
ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________79
Упражнения
1) Выяснить, являются ли данные функции положительно определенными:
i) V(x,y) = (x − y)2 ii) V(x, y) = x2 y2 iii) V(x, y) = sin2 [t (x2 + y2 )].
2) Определить, допускают ли указанные функции б.м.в.п.:
i) V(t, x) = sgn(t sin x) ii) V(t, x1, x2 ) = cos[t (x12 + x22 )].
§ 2. Теорема Ляпунова об устойчивости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx |
= f(t,x) |
(t ≥ 0), |
(1) |
|
dt |
||||
|
|
|
где
x1(t) x = x(t) = M ,
xn (t)
f |
(t,x) |
|
||
|
1 |
|
|
, |
f(t,x) = |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
fn |
(t,x) |
|
||
причем f(t, x) непрерывна на Z = {(t, x ) | t ≥0 , ||x|| ≤ H} при некотором H > 0. |
|
Будем считать, что система (1) имеет нулевое решение ξ = 0, т.е. |
|
f(t,0) = 0 |
t ≥ 0 . |
О п р е д е л е н и е 1. Пусть имеется функция V = V(t, x) C(1,1)tx (Z) . |
|
Рассмотрим произвольную пару (t, x ) Z |
и соответствующее этой паре на- |
чальных данных решение x = x(τ; t, x) системы (1), так что x( t; t, x ) = x. Про- |
|
изводной по времени t |
функции V(t, x) в силу системы (1) называют функцию |
|||||||||||||||
& |
d |
|
|
= |
∂V |
n |
∂V |
fk (t,x) = |
∂V |
+ V,f |
, |
(2) |
||||
V(t,x) = |
V(τ,x(τ;t,x)) |
∂t |
+ ∑ |
∂xk |
∂t |
|||||||||||
|
dτ |
|
|
τ=t |
|
k=1 |
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂V |
|
∂V |
|
|
|
|
||||
|
|
|
V = |
|
,K, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|||||
есть градиент функции V.
Пример 1. Пусть
ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________80
dx |
= x |
2 |
+ y, |
|
|
||
dt |
|
|
V = x2 + y2 − xy cost . |
|
|
|
|
dy |
= x y, |
||
|
|||
dt |
|
|
|
Тогда производная функции V в силу данной системы имеет вид
V& = xy sint +(2x − y cost) (x2 + y) +(2y − x cost) xy .
Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть дана система (1),
имеющая нулевое решение. Если существует положительно определенная функция V(t,x) C(1,1)tx (Z), называемая функцией Ляпунова, которая обладает
неположительной производной по времени V&(t,x) в силу системы (1), то ну-
левое решение этой системы устойчиво по Ляпунову.
□ Согласно условию теоремы существует непрерывная положительная
функция W, такая, что |
|
V(t, x) ≥ W(x) > 0 |
x : ||x|| ≤ H, x ≠ 0, |
V(t, 0) = W(0) = 0 |
t ≥ 0. |
Введем сферу |
|
Sε = {x Rn | ||x|| = ε } Z,
где произвольно выбранное ε удовлетворяет неравенствам 0 < ε < H. Очевидно, Sε – непустой компакт и функция W непрерывна на нем. Введём
α: = min W(x) > 0.
x Sε
Выберем произвольно и зафиксируем t0 ≥ 0. Так как V(t0, x) непрерывна по x, причем V(t0, 0) = 0, то существует δ > 0 (δ < ε) такое, что
0 ≤ V(t0 ,x) < α |
x : || x ||< δ. |
|
|
|
|
|
|
(*) |
Зафиксируем произвольное ненулевое решение x = x(t) с начальным ус- |
||||||||
ловием ||x(t0)|| < δ. |
x(t) целиком остается внутри сферы |
|||||||
Докажем, что траектория решения |
||||||||
Sε при всех t ≥ t0 , т.е. ||x(t)|| < ε для любого t ≥ t0. |
|
|
|
|
|
|
||x(t0)|| < δ < ε. |
|
В самом деле, в начальный момент времени |
t0 верно |
|||||||
Предположим противное: найдется t1 > t0 , такое, что |
|
x(t1) |
|
|
|
= ε, |
причем ||x(t)|| |
|
|
|
|
||||||
< ε при всех t0 ≤ t < t1 (см. рис 2.1).