С учетом обозначения

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TUD_Nogin / TUD / part2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

808.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________86

Интегрируя это неравенство в пределах от 0 до		t , получим
t		t
&	≤ v(0)	− ∫W1 (x(τ))dτ.
v(t) = v(0) + ∫V(τ,x(τ))dτ	≤ v(0)	− ∫W1 (x(τ))dτ.
0		0
С учетом обозначения

γ:= min W1(x) > 0

β≤ x ≤

и неравенств β ≤

x(τ)

≤ для всех

τ [0, t], имеем

− W1(x) ≤ −γ

x : β ≤

≤ .

Поэтому полученная выше оценка сверху для v(t) принимает вид

v(t) ≤ v(0) − ∫γdτ = v(0) − γt .

0
Отсюда при достаточно большом t следует
		v(t) = V(t,x(t)) < 0,
что противоречит положительной определенности функции			V(t, x) .
В итоге установлено равенство
		α = lim V(t,x(t)) = 0.	(***)
		t→+∞
Наконец, убедимся в том, что имеет место предельное равенство (#), т.е.
что для любого ε > 0 существует такое T > 0 , что для всех			t >T выполнено
неравенство	x(t)	< ε. С этой целью выберем произвольное	ε (0, H) . Обозна-
неравенство	x(t)	< ε. С этой целью выберем произвольное	ε (0, H) . Обозна-

чим

w := min W(x) > 0 ,

ε≤x≤H

где W(x) – функция из определения положительно определенной функции V(t,x). Согласно (***) существует такой момент времени T > 0 , что V(T,x(T)) < w . Поэтому в силу строгого убывания функции V(t,x(t)) получа-

ем
V(t,x(t)) < w	t >T .

Если предположить противное соотношению (#), т.е. что найдется такое t1 > T , при котором x(t1) ≥ ε, то на основании полученного выше придем к

противоречию:

w > V(t1,x(t1 )) ≥ W(x(t1 )) ≥ w .

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________87

Следовательно, предельное соотношение (#) истинно ■

Следствие 1. Если для линейной однородной системы

ddtx = A(t) x

существует положительно определенная функция V(t,x) , удовлетворяющая условиям теоремы 1, то каждое решение этой системы асимптотически устойчиво.

Пример (Ляпунов). Пусть V = V(x1,..., xn ) – положительно определенная функция класса С2 . Для нее выполнены равенства

V(0) = ∂V(0) =... = ∂V(0) = 0 .

∂x1 ∂xn

Заметим, что равенства нулю всех частных производных функции V вытекают из условия положительной определённости и предположения о непрерывной дифференцируемости этой функции в начале координат (в этом можно легко убедиться, предположив противное).

Рассмотрим систему

	&	∂V		,
	&
x1 = −		∂x1
		∂x1

LLLLL
			∂V
	&		∂V
	&			,
xn = −			∂xn	,
			∂xn

имеющую нулевое решение x1 =... = xn = 0.

Принимая V за функцию Ляпунова, для производной V& в силу системы получим

&	∂V	2		∂V 2
V = −	∂x1		+... +		.
	∂x1			∂xn

Это неположительная функция. Поэтому, согласно теореме 1 из § 2 данной главы, нулевое решение x = 0 устойчиво по Ляпунову.

Устойчивость будет асимптотической, если V& – отрицательно определенная функция. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система уравнений

∂V = 0,..., ∂V = 0

∂x1 ∂xn

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________88

имела единственное нулевое решение x1 =... = xn = 0 в некоторой окрестности

x < H . Согласно теории неявных функций для этого достаточно, чтобы имело место неравенство

	∂2V

det		x1	=...=xn =0	≠ 0 .


	∂xi∂x j

Пример 2. Исследуем на устойчивость нулевое решение уравнения

&	m	;	a – const, m	нечетное число.
x = a x

Если a = 0, то, очевидно, нулевое решение устойчиво, но не является асимптотически устойчивым.

Пусть a ≠ 0. Введем функцию Ляпунова вида V(x) = x2 . Для неё имеем

V& = dV x=a xm = 2a xm+1 , dt &

где m+1 – четное. Следовательно, если a < 0, то функция V удовлетворяет всем требованиям последней теоремы, а значит нулевое решение асимптотически устойчиво.

Упражнения

1)С помощью надлежащей функции Ляпунова установить асимптотическую устойчивость нулевого решения уравнения

x = −arctg x	(t ≥ 0).
&

2)Подобрать функцию Ляпунова и с её помощью установить асимптотическую устойчивость нулевого решения системы

	&		−2x (x			2	+ y		2	)		2	,
x = αx −2y
					2			2		2			(α ≤ 0)
	&	+αy	− y	(x		+ y			)		.
y = 2x

§ 4. Теоремы Ляпунова о неустойчивости

10. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 1. Пусть для системы

dx	= f(t,x)	(t ≥ 0),	(1)
dt

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________89

удовлетворяющей предположениям из § 2 (в частности, f(t,0) ≡ 0), существу-

ет функция Ляпунова V(t,x) C(1,1)tx (Ζ), такая, что

V(t,x) допускает б.м.в.п.;

существует число

≥ 0 такое, что для любого

δ > 0

найдётся точка

x , удовлетворяющая неравенствам

x) > 0

;

< δ, V(t,

по t в силу системы (1) положительно определена.

производная V(t,x)

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.

□ Согласно условию 3) имеем

t ≥ 0 ,

x : 0 <

< H ,

( )

V(t,x) ≥ W(x) > 0

где W(x) – некоторая непрерывная положительная функция.

Функция V(t, x) допускает б.м.в.п. Поэтому она ограничена в достаточно узком цилиндре, т. е.

V(t,x)

≤ M

t ≥ 0 , x : 0 <

≤

0 < H ,

где M и 0

– некоторые положительные числа.

Пусть δ (0, 0 )

– сколь угодно малое число. По условию теоремы при

фиксированном

≥ 0

найдется такая точка

x , 0 <

x) > 0 .

< δ, что α:= V(t,

Рассмотрим ненулевое решение x = x(t) = x(t;

t,x) системы (1). Положим

v(t) := V(t, x(t))

t ≥ 0 .

Согласно ( ) , функция v(t) – возрастающая, поэтому

V(t, x(t)) ≥ V(t,

x(t)) = α > 0

t ≥

(**)

Для доказательства неустойчивости, рассуждая от противного, покажем,

что существует такое

t1 >

, что

x(t1)

0. В самом деле, пусть

x(t1)

≤ 0

для любого

t ≥

x(t) бесконечно продолжаемо вправо. А так

t. Тогда решение

как функция

V(t, x) имеет б.м.в.п., то из ( )

с использованием рассуждений,

приведенных при доказательстве предыдущей теоремы, получаем существование β > 0 , при котором

0 < β ≤

x(t)

≤

t ≥

Пусть

W(x) > 0 .

γ: = inf

β≤

≤

Тогда благодаря неравенствам β ≤