TUD_Nogin / TUD / part3

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанных непосредственно на анализе общих или частных решений этих систем, а также использующих определенные характеристики указанных решений.

§ 1. Характеристический показатель функции

10. Определение характеристического показателя функции. Рассмот-

рим комплекснозначную функцию

где f1 и f2 – некоторые вещественные функции. Имеет место представление

f(t) = eα(t) t ,

где

α(t) = 1t ln f (t).

Из данного представления видно, что, исследуя величину α(t), можно изучать скорость роста функции |f (t)| по сравнению со скоростью роста экспоненты.

О п р е д е л е н и е 1. Число (или один из символов – ∞, + ∞), определяемое равенством

называют показателем Ляпунова (характеристическим показателем).

З а м е ч а н и е 1. Для обеспечения корректности в приведенном определении предполагается, что существует последовательность tk → +∞ при k → +∞, такая, что |f(tk)| ≠ 0 для всех натуральных k, начиная с некоторого номера.

З а м е ч а н и е 2. Отметим следующий факт, вытекающий из определе-

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________116

□ Необходимость. Выберем произвольное ε > 0 и пусть

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________117

для некоторой последовательности tk → +∞ при k → +∞. Следовательно, при некотором натуральном N справедливо

и поэтому χ[f ] ≥ α. Полученные неравенства влекут равенство χ[f ] = α ■ Пусть для определенности χ[f ] = α > 0 (случай α < 0 разбирается аналогично). Величина характеристического показателя дает возможность сравнить скорости роста данной функции (точнее говоря, ее модуля) и экспоненты. А именно, в соответствии с доказанным свойством

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________118

y

y1=e(α+ε) t y=|f(t)|

y2=e(α–ε) t

1

t

0

Рис. 3.1. Характеризация скорости роста функции y = |f(t)|.

5) Пусть χ[fk ] R, k =1,2,...,m . Характеристический показатель суммы конечного числа функций f1(t),...,fm (t) не превышает наибольшего из ха-

рактеристических показателей этих функций и совпадает с ним, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одно этих из слагаемых:

Согласно предыдущему свойству (часть «достаточность»), верно

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________119

В соответствии с частью «необходимость» предыдущего свойства для любо-

а значит, в соответствии с частью «достаточность» предыдущего свойства, получаем неравенство

m

χ[∑fk ] ≥ α.

k=1

Это вместе с неравенством (*) ведёт к требуемому равенству

6)Пусть χ[fk ] R, k =1,2,...,m . Характеристический показатель произведения конечного числа функций f1(t),...,fm (t) не превышает суммы характеристических показателей этих функций, т.е.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________121

(iv) y = ln(1 + 2t ) . t

2)Существуют ли ограниченные на промежутке [0,+∞) функции, имеющие бесконечные характеристические показатели + ∞ или − ∞?

§2. Характеристический показатель функциональной матрицы

Введенное в предыдущем параграфе понятие характеристического показателя функции здесь распространяется на векторные функции, а также функциональные матрицы. При этом основные из установленных ранее свойств сохраняются.

10. Определение.

О п р е д е л е н и е 1. Пусть F(t) = (f jk (t)) – матрица, определенная на [0,+∞) . Число (или один из символов + ∞, −∞) определяемое равенством

χ[F(t)] = max χ[f jk (t)] ,

j,k

называется характеристическим показателем матрицы F(t) .

Очевидно, χ[FT (t)] = χ[F(t)] .

20. Свойства характеристических показателей матриц.

1 Определение нормы матрицы (три варианта) см. в § 3 гл. 1.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________122

Из неравенств (*) – (**) вытекает равенство (1) ■

2)Пусть χ[Fs ] R, s =1,2,..., N . Характеристический показатель суммы конечного числа матриц Fs не превышает наибольшего из характери-

одна, обладающая наибольшим характеристическим показателем, то характеристический показатель суммы данных матриц равен этому наибольшему характеристическому показателю.

с использованием свойства 5) характеристических показателей получаем

χ[fpq (t)] = χ[fpq(1) (t)] = χ[F1(t)].

Следовательно,

χ[F(t)] ≥ χ[F1(t)] = max χ[Fs (t)].

s

Отсюда, в силу доказанного выше свойства 2), следует

χ[F(t)] = max χ[Fs (t)] ■

s

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________123

3)Пусть χ[Fs ] R, s =1,2,..., N . Характеристический показатель произведения конечного числа матриц Fs не превышает суммы характеристи-

ческих показателей этих матриц.

N

□ Пусть F(t) := ∏Fs (t) . Норма произведения матриц не превышает про-

s=1

N

изведения норм этих матриц: || F(t) ||≤ ∏|| Fs (t) ||. Поэтому с использова-

s=1

нием свойства 6) характеристических показателей, получаем

Следствие 2. Характеристический показатель линейной комбинации

N

∑cs Fs (t) (cs ≠ 0, s =1,2,..., N) нескольких матриц с постоянными ко-

s=1

эффициентами не превышает наибольшего из характеристических этих матриц и равен ему, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одна из данных матриц.

Упражнение

1. Вычислить характеристический показатель матрицы

§ 3. Спектр линейной однородной системы

случае комплекснозначных функций.

Теорема 1. Если матрица A(t) линейной системы (1) ограничена на

[0,+∞) , т.е. существует такое число c, что

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________124

то каждое вещественное или комплексное ненулевое решение x = x(t) системы (1) имеет конечный характеристический показатель.

□ Пусть x(t) = (x1 (t),..., xn (t))T – произвольное ненулевое решение системы (1), t ≥ 0 . Заметим, что x(0) ≠ 0 , так как в противном случае благодаря единственности решения с начальными данными (0, x(0)) оно должно было

быть нулевым.

Из (1) вытекает

Применяя обобщенную лемму Гронуолла-Беллмана (см. § 9 гл. 1), при t ≥ 0 получим

Предварительно разделив эти неравенства на положительное число x(0) , с учетом равенства

x(t)

χ= χ[x(t)]x(0)

находим

Отсюда

− A ≤ χ[x(t)] ≤ A ,

где