Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TUD_Nogin / TUD / part1-1.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
435.57 Кб
Скачать

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Вэтой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем – линейных систем. В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными коэффициентами свойство устойчивости самым непосредственным образом связано со знаками вещественных частей корней характеристического полинома матрицы данной линейной системы. Тем самым, вопрос устойчивости таких систем принимает чисто алгебраическую форму и для его решения можно использовать соответствующие средства алгебры.

Вначале главы формулируются фундаментальные определения устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову невозмущенного решения дифференциальной системы общего вида.

§ 1. Основные понятия теории устойчивости

1о. Исходная система уравнений. Нормальная система дифференциаль-

ных уравнений (с.д.у.) имеет вид

 

 

 

dyi

= fi (t, y1 ,..., yn ),

i =1, 2,..., n ,

(1)

 

dt

 

 

 

 

 

где

t – независимое переменное (время),

y1,..., yn – искомые функции переменной t (фазовые переменные),

fi : [0,+∞) × D R – числовые функции n +1 переменной, D – некоторая область фазового пространства Rn.

З а м е ч а н и е 1. Дифференциальная система (1) с произвольным начальным моментом времени t = t0 при помощи замены t/ = t – t0 сводится к аналогичной системе с нулевым начальным моментом времени t/ = 0. По этой причины всюду далее, если не оговорено противное, будет рассматриваться дифференциальная система с нулевым начальным моментом времени. При этом в случае необходимости читатель без особого труда любой полученный результат может легко переформулировать применительно к системе с ненулевым начальным моментом времени.

Перепишем дифференциальную систему (1) в векторной форме:

dy

= f (t, y)

(t 0),

(1/)

dt

 

 

 

где

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________17

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

y

 

f

 

(t, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dt

 

 

 

1

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = M

,

f (t, y) = M

 

 

,

 

= M

 

.

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

fn (t, y)

 

 

dyn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Напомним, что n-мерную непрерывно дифференцируемую вектор-

функцию y = y(t) C1[t0 ,a)

(t0 0) называют решением системы дифференци-

альных уравнений (1) на промежутке [t0, a), если

 

 

 

 

 

 

dy(t)

= f (t, y(t))

 

 

t [t0 , a) .

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее предполагается, что вектор-функция

f (t, y)

по крайней мере не-

прерывна в области [0,+∞) × D, которая является областью существования и единственности решения задачи Коши (последнее автоматически выполняется для линейных систем). Нередко в соответствии с механической интерпретацией системы (1) решения уравнения (1) называют движениями данной системы.

Решению (интегральной кривой) y = y(t) = y(t; t0, y0) (t0 0, y0 D) системы (1) c начальным условием y(t0) = y0 соответствует определенная траектория в фазовом векторном пространстве Rn; при этом t играет роль параметра. Геометрически траектория является проекцией интегральной кривой на фазовое пространство. Совокупность всех траекторий некоторой системы нередко называют её фазовым портретом.

Согласно теореме об интегральной непрерывности, если вектор-функция

f (t, y) в любой ограниченной части области

[0,+∞) × D удовлетворяет усло-

вию Липшица по переменной y, то решения

y(t) системы (1), содержащиеся

при всех t ≥ 0 в области [0,+∞) × D , обладают свойством интегральной не-

прерывности:

 

 

 

для любых

ε > 0 , t0 ≥ 0

и произвольного T > 0

найдется такое δ > 0,

что всякое

решение

z(t)

= z(t; t0,

z0),

удовлетворяющее условию

 

 

 

z0 y(t0 )

 

 

 

 

 

 

 

< δ,

имеет

смысл

при всех

t0 t T,

причем неравенство

 

 

 

 

 

 

 

z(t) y(t)

 

 

 

 

 

< ε выполняется для всех t [t0 , t0 +T].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

y =

y12 +K+ y2n – евклидова норма вектора y.

Свойство интегральной непрерывности выражает «плавный» характер изменения интегральных кривых. Геометрически, интегральная непрерывность означает, что все решения, попадающие в какой-то произвольный момент времени t0 ≥ 0 в некоторую δ-трубку решения y(t), не покидают пределы сколь

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________18

угодно узкой наперед заданной ε-трубки того же решения на всем протяжении отрезка [t0 , t0 +T] (рис. 1.1).

y

 

 

y(t)

z0

 

z(t)

δ

 

ε

 

 

 

ε

 

 

t0

t0+T

t

Рис. 1.1. Иллюстрация интегральной непрерывности.

2о. Основные определения.

О п р е д е л е н и е

1.

Решение η= η(t) ( t 0) системы (1) называют

устойчивым по Ляпунову при

t → +∞ ( или просто устойчивым), если для лю-

бого ε > 0 и для любого t0

0

найдется δ = δ(ε, t0 ) > 0 такое, что справедливы

следующие два условия

 

 

1)все решения y = y (t) системы (1) (включая η), удовлетворяющие неравенству

 

 

 

y(t0 ) η(t0 )

 

 

 

< δ,

 

 

 

 

 

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определены на [t0 ,+∞), т.е. y(t) D

для всех t t0 ;

 

 

 

 

 

2) для этих решений выполняется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t) η(t)

 

 

 

< ε

t t0 .

(**)

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е 2. Из (**) при t = t0 следует

 

 

 

y(t0 ) η(t0 )

 

 

 

< ε, поэтому

 

 

 

 

в определении устойчивого решения всегда можно считать, что

δε.

y

εδ

ε

δ

η(t)

 

 

 

y(t)

t0

 

t

 

Рис. 1.2. Иллюстрация к замечанию 2.

 

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________19

З а м е ч а н и е 3. Если имеет место свойство интегральной непрерывности, то решение η= η(t) ( t 0 ), устойчивое для некоторого фиксированного

момента t0 0 , будет устойчивым и для любого t0 0 (см. рис. 1.3).

□ В самом деле, возьмем произвольное t/0 < t0 и зафиксируем его. Благо-

даря свойству интегральной непрерывности найдется такое

δ/ > 0, при котором

всякое решение y(t), попадающее в δ/-трубку решения η(t)

в момент времени

t = t/0, останется в δ-трубке решения

η(t)

к моменту времени t = t0, а значит, в

соответствии с устойчивостью (для

t = t0),

не покинет пределы ε- трубки того

же решения при всех t t0. Это означает, что из устойчивости решения для

фиксированного момента времени

t = t0 вытекает устойчивость того же реше-

ния для любого меньшего момента времени t/0 < t0.

Рассмотрение случая t/0 > t0

проводится аналогично ■

y

 

δ/{

}δ

η(t)

δ/{

y(t)

t/0 t0 t

Рис. 1.3. Иллюстрация к замечанию 3.

Таким образом, при выполнении свойства интегральной непрерывности для установления факта устойчивости имеющегося решения достаточно ограничиться проверкой этого свойства лишь для некоторого момента времени t0 .

З а м е ч а н и е 4. Устойчивость заданного решения системы (1) эквивалентна его интегральной непрерывности на каждом бесконечном промежутке [t 0 ,+∞) , где t0 0 ; читателю предлагается убедиться в этом самостоятельно.

О п р е д е л е н и е 2. Если число δ > 0

из определения 1 устойчивого

решения можно выбрать не зависящим от момента времени t0 T , т.е. δ = δ(ε),

то такое решение называют равномерно устойчивым в области T R .

Всякое решение, не являющееся устойчивым, естественно называть неус-

тойчивым. Тем самым, приходим к следующему определению.

О п р е д е л е н и е 3. Решение η = η(t)

( t 0)

системы (1) называют

неустойчивым по Ляпунову, если существуют

ε > 0 и

t0 0 , такие, что для

любого δ > 0

можно указать решение yδ(t), обладающее тем свойством, что

при некотором

t1 = t1 (δ)> t0 справедливы неравенства

 

Соседние файлы в папке TUD