Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TUD_Nogin / TUD / part1-2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

577.16 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________31

Следствие 2. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом.

30. Устойчивость линейной однородной системы с комплексной мат-

рицей. Рассмотрим линейную систему (1) в предположении, что элементами матрицы A(t) являются комплекснозначные функции переменной t ≥ 0. Выделим вещественную и мнимую части матрицы A: A(t) = A′(t) +i A′′(t) , где мат-

рицы A′, A′′ имеют вещественные элементы и i – мнимая единица.

Прежде всего, установим, как в рассматриваемом случае следует понимать решение системы (1). С этой целью подставим в равенство (1) комплекснозначную векторную функцию x = x(t)= u(t) +i v(t) :

ddut +i ddvt = (A′+i A′′) (u +i v) .

Приравнивая вещественные и мнимые части, получим эквивалентность

			du(t)			′	′′
dx(t)				dt	= A (t) u(t) −A			(t) v(t),
dx(t)	= A(t) x(t)			dt
dt	= A(t) x(t)
dt			dv(t)			′′	′
				dt	= A (t) u(t) + A (t) v(t),
				dt
которая и показывает, каким				образом			надлежит	понимать решение
x(t) = u(t) +i v(t)	системы (1) с комплекснозначной матрицей A(t). В частно-
сти, если матрица A(t) – вещественная, то получаем
					du(t)		= A(t) u(t),
	dx(t)					dt
	dx(t)	= A(t) x(t)				dt
	dt	= A(t) x(t)
	dt				dv(t)		= A(t) v(t).
						dt	= A(t) v(t).
						dt

Следует отметить, что большинство утверждений для линейных однородных систем с вещественной матрицей, известных из курса теории дифференциальных уравнений (по крайней мере, те утверждения, которые будут использоваться далее), сохраняют свою силу и для подобных систем с комплексной матрицей.

Для линейных систем с комплексной матрицей совершенно аналогично вводятся определения устойчивого (и асимптотически устойчивого) решения и системы. Внешне они ничем не отличаются от приведенных ранее определений и по этой причине здесь не приводятся. Анализ доказательств утверждений, сформулированных в данном и предыдущем параграфах, показывает, что они

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________32

сохраняют свою справедливость (возможно, с очевидными поправками) и для систем с комплексной матрицей. В частности, например, линейная однородная система (1) с комплексной матрицей A(t) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая части всякого её решения x = x(t) = u(t) +i v(t) стремятся к нулю при t → +∞.

§ 4. Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей

Среди семейства всех дифференциальных систем класс линейных однородных систем с постоянной матрицей является наиболее простым и хорошо изученным. Как показывает следующая теорема, вопрос об устойчивости таких систем может быть сведен к решению чисто алгебраической задачи о знаках вещественных частей собственных (характеристических) значений матрицы данной системы.

10. Критерий устойчивости.

Теорема 1. Линейная однородная система

	dx	= A x	(t ≥ 0)		(1)
	dt

с постоянной матрицей A = (aij )n×n			устойчива тогда и только тогда, когда
все собственные значения		λj ,	j =1,2,..., n , матрицы	А	обладают
неположительными вещественными частями, т.е.
		Re λj	≤ 0, j =1,2,...,n ,		(2)
причём собственные значения		λj , имеющие нулевые вещественные части, ха-

рактеризуются тем свойством, что соответствующие им клетки Жордана сводятся к одному элементу (т.е. допускают лишь простые делители, что

равносильно выполнению равенства		n − rang(A −λjE) = k j , где		k j – кратность
корня	λj ).
	□ Достаточность. Обозначим	αj +i βj , j =1,2,..., p ,	где	i – мнимая еди-
ница,	собственные значения матрицы А с отрицательными вещественными
частями αj , отвечающие различным клеткам Жордана, а			i γk , k =1,2,...,q , –

собственные значения матрицы А с нулевыми вещественными частями, причём p +q = m – общее число клеток Жордана в нормальной форме матрицы А. То-

гда, как известно из курса дифференциальных уравнений, любое решение системы (1) может быть представлено в виде

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________33

p	q
x(t)= ∑eαj t (cos(βjt) +isin (βjt)) Pj (t)+ ∑(cos(γk t) +isin (γk t)) ck ,
j=1	k=1

где Pj (t) – некоторые полиномиальные векторные коэффициенты, степень которых меньше кратности корня αj +i βj , а ck – постоянные вектор-столбцы.

Из выписанного представления благодаря соотношениям

eαj t P (t)	→ 0,	cos(γ	k	t) +i sin (γ	k	t)	=1

j	t→+∞
					на (t0 ,+∞). Согласно
получаем ограниченность произвольного решения x(t)
теореме 1 предыдущего параграфа система (1) устойчива.

Необходимость. Дано, что система (1) устойчива. Сначала покажем, что выполнено (2). Для этого предположим противное: найдется λs = σ + i τ – соб-

ственное значение матрицы А, для которого

Reλs = σ > 0. Так как функция

ζ = ζ(t)= eλs t c

(

≠ 0)

является ненулевым решением системы (1), причём

eλs t

= eσ t

→ +∞,

t→+∞

то решение ζ неограниченно. Полученное противоречит устойчивости системы. Следовательно, (2) выполняется.

Теперь покажем, что любое собственное значение с нулевой вещественной частью обладает тем свойством, что соответствующая ему клетка Жордана сводится к одному элементу.

Пусть матрица А приведена к жордановой форме:

A = S−1 diag[J1(λ1 ),...,Jm (λm )] S,

где det(S) =	S	≠ 0 . Предположим						противное:		существует такое значение
где det(S) =	S	≠ 0 . Предположим						противное:		существует такое значение
λs = i μs (Re	λs = 0), что ему отвечает клетка Жордана
					λs		1		0	0
						0	λs		0	0
			(λ			0	λs		0	0
		J	(λ		)=						,
		s		s		0	0		λs	1
						0	0		λs	1
						0	0		0
						0	0		0	λs ns ×ns

tns −1

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________34

причём ns >1. Рассмотрим матрицу
Θ(t)= S−1 diag[0,...,0,etJs (λs ),0,...,0] S .	(*)
Она является матричным решением системы (1), так как