ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________39

Im λ

n = 3

λ2

λ3

Рис. 1. 7. Расположение корней характеристического уравнения.

Таким образом, многоступенчатое управление при n ≥3 неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний, происходящего при n ≥3 .

Подлинную устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление.

Иными словами, для того чтобы добиться наиболее эффективного управления, нужно избегать каких бы то ни было промежуточных звеньев управления.

Упражнения

1)Исследовать на устойчивость следующие две системы и уравнение в зависимости от параметра α:

2)Убедиться в неустойчивости следующей линейной однородной системы четвертого порядка

3)Исследовать на устойчивость линейную систему (1) с постоянной матрицей

А, если A2 = –A.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________40

§5. Полиномы Гурвица

Всоответствии с результатами § 4 исследование устойчивости и асимптотической устойчивости линейной системы с постоянной матрицей сводится

кизучению расположения корней характеристического полинома матрицы данной системы. При этом асимптотическая устойчивость будет иметь место тогда и только тогда, когда корни характеристического полинома расположены

влевой комплексной полуплоскости. Полиномы с корнями указанного типа являются предметом изучения настоящего параграфа.

О п р е д е л е н и е 1. Полином с вещественными коэффициентами

где n ≥1, называется стандартным полиномом.

Стандартный полином не имеет нулевых корней и его степень равна n . О п р е д е л е н и е 2. Полином степени n ≥1 называют полиномом Гур-

вица, если все его корни z1,...,zn лежат в левой (открытой) полуплоскости, т.е. Rezi < 0, i =1,2,...,n .

Теорема 1 (А. Стодола). Для того чтобы стандартный полином (1) являлся полиномом Гурвица, необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительными.

□ Обозначим через

z j = −αj +i βj , j =1,..., p ,

существенно комплексные корни (βj ≠ 0) полинома Гурвица f (z) вида (1) и че-

рез

z j = −γj , j = p +1,...,q ,

вещественные корни этого полинома.

По определению полинома Гурвица имеем

где z1,..., zn – корни (среди которых могут быть одинаковые) полинома f (z).

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________41

Так как коэффициенты полинома вещественны, то каждому комплексному корню zj (определенной кратности) соответствует комплексно

и

>0

z −zk = z + γj , j = p +1,...,q .

Поэтому у полинома в правой части разложения (*) все коэффициенты имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком an . Но в левой части (*) по опреде-

рой степени условие теоремы 1 является как необходимым, так и достаточным, поскольку

жительные коэффициенты, но не является полиномом Гурвица, так как его кор-

Гурвица степени n. Тогда

∞

H = n=1 H n

есть множество всех стандартных полиномов Гурвица. О п р е д е л е н и е 3. Полином

F(z)= (1 +αz) f (z)+f (−z)=: Sαf (z)

при α > 0 называется присоединённым к полиному f (z), а символ Sα означает

операцию присоединения.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________42

Следующие две теоремы демонстрируют, что операция присоединения осуществляет тесную связь между стандартными полиномами Гурвица, степень которых отличается на одну единицу.

Теорема 2. Для любого α > 0 справедлива импликация

f (z) Hn F(z)= Sαf (z) Hn+1 .

Очевидно, Φ1(z)= F(z).

Покажем, что для любого μ [0,1] корни z j = z j (μ), j =1,2,..., n +1, полинома Φμ расположены в левой полуплоскости Rez < 0. Имеем

f (z)= a0 +a1z +... +anzn ,

причём a0 > 0,..., an > 0 . Для полинома Φμ имеет место представление

Φμ(z)= b0 (μ)+ b1(μ)z +... + bn (μ)zn +αanzn+1 ,

где bi (μ), i =1,2,...,n , – линейные функции параметра μ. С учетом αan > 0 по-

μ