Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TUD_Nogin / TUD / part1-2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

577.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________49

A0 > 0, T1 = A1 > 0, …, Tn+1 > 0 .

Покажем, что F(z) Hn +1 .
Согласно следствию 1 предыдущего параграфа,		полином F(z) можно
рассматривать как присоединенный к некоторому стандартному полиному
f(z) = a0 +a1z +... +a n zn	(an ≠ 0,	a0 > 0) .

Как и в доказательстве необходимости получаем, что главные диагональные

миноры Tk+1 матрицы Гурвица

ΓF

удовлетворяют равенствам

= (2c)k+1 a

k =1,2,...,n .

А так как согласно предположению

Tk+1 > 0 , то k > 0 ,

k =1,2,...,n , т.е. для

полинома f(z)

выполнены условия Гурвица (1). Отсюда в соответствии с ин-

дуктивным предположением получаем, что

f(z) Hn . Таким образом, полином

F(z)

является присоединенным к стандартному полиному Гурвица f(z) , а зна-

чит, в силу теоремы 2 из § 5, верно

F(z) Hn+1 ■

Если f(z) = a

z +... + a

– стандартный полином Гурвица, то поли-

ном

f(z) = z

где

g(z) = a0zn +a1zn-1 +... +a n ,

также является стандартным полиномом Гур-

вица, и обратно.

z j ,

j =1,2,...,n , –

и Rez j < 0 тогда и

В самом деле,

корни полинома

f(z)

только тогда, когда

– корни полинома

g(z) , причем

z j

Rez j

< 0 ,

j =1,2,...,n .

z j

Благодаря сказанному имеет место

вам

Следствие 2. Условия Гурвица (1) теоремы 1 эквивалентны неравенст-

1 = a n−1 > 0;

a n-1

a n

> 0; … ;

= a0

0 = a n >

an-3

a n-2

n-1 > 0,

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________50

представляющим собой условия Гурвица, записанные для полинома g(z).

Рассмотрим линейную однородную систему

	dx	= A x	(t ≥ 0)	(2)
	dt

с постоянной матрицей A = (aij ) . Пусть			det(λE −A)= 0 – соответствующее ха-

рактеристическое уравнение. В раскрытом виде это уравнение можно записать так:

λn − A1λn−1 + A2λn−2 +... + (−1)n An = 0 ,

где

A1 = ∑aii =SpA

	i
	aii	aij

A2 = ∑det
i<j	a ji	a jj

……………………

Ak равно сумме всех главных миноров порядка k матрицы A

……………………

An = det(A) .

Напомним, что минор является главным, если номера занимаемых им строк совпадают с номерами занимаемых им столбцов.

Воспользовавшись условием положительности коэффициентов стандартного полинома как необходимым условием того, чтобы он был полиномом Гурвица, получим следующее утверждение.

Для асимптотической устойчивости линейной системы (2) необходимо, чтобы выполнялись неравенства

− А1 > 0; А2 > 0;...;(−1)n Аn > 0;

в частности,

SpA < 0, (−1)n det(A) > 0.

Нетрудно заметить, что для системы второго порядка (т.е. при n = 2 ) последние два условия являются и достаточными для асимптотической устойчивости.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________51

Следствие 3. Для асимптотической устойчивости линейной системы (2) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

= −A > 0; ˆ

− A1

= −A A

+ A

> 0; ... ; ˆ

= (−1)n А

> 0 .

− A3

1 2

n-1

Пример 1. Пусть

f(z) =1+az + bz2 +az3 +z4 .

Тогда

		a		1	0		0
				b		a	1
		a		b		a	1
	Γf =		0	1		a	b
			0	1		a	b
			0	0	0		1
			0	0	0		1
и условия Гурвица принимают вид
		a		1	0	= a 2		1	1	0	= a2	1	1	0
		a		1	0			1	1	0		1	1	0
1 = a > 0; 2 = ab − a > 0; 3 =		a b a						1 b 1				0 b −1 1			=
		0		1	a			0	1	1		0	1	1
	= a2 (b −2) > 0 ,
что равносильно неравенствам a > 0,			b > 2 .
Пример 2. Выясним, при каких значениях параметров α												и β	система
dx	= −x +αy,
dt	= −x +αy,

dy	=βx − y +αz,								( α,β R ).
	=βx − y +αz,								( α,β R ).
dt
dz
	= βy −z,
dt	= βy −z,

является асимптотически устойчивой.

Первое решение (на основе анализа корней характеристического полинома). Составляем характеристическое уравнение

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________52

λ +1	−α	0	= (λ +1) [λ2 + 2λ +(1 −2αβ)]= 0 .
λ +1	−α	0
−β λ +1 −α
0	−β	λ +1

Находим его корни

λ1 = −1, λ2,3 = −1 ± 2αβ .

Система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все корни имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, область асимптотической устойчивости в пространстве параметров определяется неравенством

αβ < 12 .

Второе решение (на основе теоремы 1 из § 5). Характеристический полином имеет вид

λ3 + 3λ2 +(3 −2αβ)λ +1 −2αβ.

Необходимое условие гурвицевости этого полинома состоит в положительно-

сти всех его коэффициентов, что вновь приводит к условию αβ < 12 . Здесь сле-

дует, однако, заметить, что в общем случае использование упомянутого необходимого условия (поскольку оно не обязательно является достаточным) может привести к более широкому множеству, чем область асимптотической устойчивости.

Третье решение (на основе критерия Рауса-Гурвица). Составляем матрицу Гурвица

3		−2αβ 1 −2αβ	0

Γ = 1		3	3 −	2αβ

	0	0	1
	0	0	1

и выписываем условия	Гурвица
1 = 3	−2αβ > 0, 2 =8 −4αβ > 0	αβ<	3.
			2

Полученный результат не совпадает с найденным ранее и дает более широкие границы. Почему? Дело в том, что полином, о котором идёт речь в критерии Рауса-Гурвица, должен быть стандартным. Это в данном случае означает, что