Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TUD_Nogin / TUD / part1-2.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
577.16 Кб
Скачать

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________43

 

Im z

 

 

iR

 

 

βi = z j

μ

 

 

 

 

z j (0)

z j (1)

 

 

–R

R

Re z

–iR

Рис. 1.8. Иллюстрация к доказательству леммы 1.

Гурвица. Тогда

для

некоторого j

в силу указанной

выше непрерывной

зависимости кривая

z j = z j(μ) пересечёт мнимую ось при

 

μ =μ. Иначе говоря,

 

 

(0,1] полином

Φ (z) будет иметь чисто мнимый корень

при некотором

μ

μ

βi, т.е.

Следовательно,

Но

 

 

 

Φ (βi)(1+αβ i) f (βi)+μ f (β i)= 0 .

 

μ

 

 

 

f (β i).

(*)

1 +αβ i f (β i) = μ

f (β i) = f (β i)= f (β i) = f (β i) 0 .

0

Поэтому равенство (*) влечет 1+αβ i = μ, откуда

 

1 +α2β2

2

 

(**)

 

= μ

 

Здесь β 0 , так как в противном случае

 

 

 

Φ (βi)= Φ

 

 

>0

= 0 ,

(0)= 1 +μ a0

μ

μ

 

 

 

 

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________44

что невозможно. Следовательно, из (**) получаем

 

μ >1, что противоречит

 

 

μ (0,1]. Поэтому F(z)= Φ1(z) Hn+1

 

Теорема 3. Для любого полинома F(z) Hn+1

найдутся положительное

число α и полином f (z) Hn , такие, что

 

F(z)= Sαf (z)(1 +αz) f (z)+f (z).

□ Имеем

 

F(z)= (1+αz) f (z)+f (z),

 

F(z)= (1αz) f (z)+f (z).

 

Из первого равенства следует

 

f (z)= F(z)(1+αz) f (z).

 

Поэтому из второго равенства получаем

 

F(z)= (1 αz) (F(z)(1 +αz) f (z))+f (z),

или

F(z)= F(z)αz F(z)f (z)αz f (z)+αz f (z)+α2z2 f (z)+f (z),

 

а значит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2z2 f (z)= −(1 αz) F(z)+ F(z).

(*)

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>0

>0

 

z

 

0

zn+1 .

 

F(z)= A

0

+ A z +... + A

n

n

+ A

n+1

 

 

1

 

 

 

 

Тогда

F(z)= A0 A1z +... +(1)n+1An+1zn+1 .

При

α = 2A1

A0

> 0 функция

f (z)

из (*) является стандартным полиномом

степени n, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

>0

 

 

 

 

 

 

 

(*) α2z2 f

64748

}

+ (2A

 

 

 

)z3

 

zn+2 .

(z)=

2A + αA

0

z

+ αA z2

3

+αA

2

+... +αA

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________45

Убедимся в том, что для любого α > 0 полином f (z) не имеет чисто мнимых корней. Для этого предположим противное:

 

 

= 0.

(**)

f i β

 

 

 

 

 

0

 

 

 

С учетом (*) имеем

α2 (i β)2 f (i β)= −(1 i αβ) F(i β)+ F(i β)

 

1 i αβ

 

F(i β)

 

F(i β)

 

F()

 

=

 

F()

 

0

1 +α2β2 =1 β = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство β = 0 противоречит (**). Следовательно,

при α = 2A1 полином

f(z) из (*) не имеет чисто мнимых корней.

 

A0

 

 

Остается доказать, что f(z)

(при α =

2A1 )

– полином Гурвица т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

f(z) Hn .

С этой целью по аналогии с доказательством предыдущей теоремы вве-

дем семейство полиномов

 

Φμ (z) = (1 +αz) f(z) +μf(z) ( 0 μ 1).

Имеем

Φ1(z) = F(z) – полином Гурвица, а полином Φ0 (z) имеет те же корни,

что и

f(z) с добавлением корня z = − 1 < 0 . Поэтому остается доказать, что

 

α

Φ0 (z)

– полином Гурвица. Но мы далее установим большее: что Φμ является

полиномом Гурвица для всех μ [0,1) , причем, как и в доказательстве предыдущей теоремы, будем использовать метод от противного.

Сначала напомним, что каждый корень

z j (μ) полинома Φμ(z)

является

непрерывной функцией параметра μ.

 

 

Далее заметим, что для любого μ [0,1]

верно неравенство

 

Φμ (0) = (1 +μ)

A1

> 0 ,

 

α

 

 

 

 

а значит, полином Φμ(z) не имеет нулевых корней.

 

Теперь предположим противное: при

некотором μˆ [0,1)

полином

Φμˆ (z) не является полиномом Гурвица. В таком случае для некоторого j кри-

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________46

вая

z j = z j (μ)

пересечет мнимую ось при

μ = μˆ , а значит,

полином Φμˆ (z)

имеет

чисто мнимый корень

i β, где

β 0 , так как в противном случае

Φμˆ (0)

= 0,

что

противоречит

отмеченному

выше

неравенству

Φμ

 

=(0) +μ(1 α0)> 0

для всех

μ [0,1] . Итак,

Φμˆ ()= 0 . Следовательно,

 

 

|1 +i αβ| | f(i β) |= μˆ | f(i β) |

 

1 +α2β2

= μˆ 2

μˆ >1.

Последнее неравенство противоречит условию μˆ [0,1) . Это говорит том, что предположение о существовании числа μˆ [0,1) , при котором Φμˆ (z) не явля-

ется полиномом Гурвица, не верно. В таком случае, Φμ(z) есть полином Гур-

вица для всех μ [0,1) и, в частности, при μ = 0 ■ Внимательный просмотр доказательства последней теоремы позволяет

сформулировать следующее утверждение.

Следствие 1. Для любого стандартного полинома

F(z) = A

0

+ A z +... + A

n +1

zn +1

( A

0

> 0 )

 

1

 

 

 

 

степени n +1, у которого

A1 > 0 , существует порождающий его стандарт-

ный полином f(z) степени n.

 

 

 

 

 

 

 

 

и теорем 2 – 3 следует, что совокупность H

Из равенства H = H n

n=1

 

 

 

 

 

 

всех стандартных полиномов Гурвица в принципе можно получить, исходя из наиболее простого множества H1 стандартных полиномов первой степени пу-

тем последовательного применения операции присоединения, т.е. построения класса H2 на основе H1 , затем класса H3 на основе H2 и т.д.

§ 6. Критерий Рауса-Гурвица

Линейная однородная дифференциальная система с постоянными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда характеристический полином матрицы данной линейной системы является полиномом Гурвица. Тем самым, вопрос об асимптотической устойчивости указанной линейной системы сводится к получению (проверяемых на практике) необходимых и достаточных условий того, что данный полином является полиномом Гурвица. Именно такого типа условия приводятся далее.

О п р е д е л е н и е 1. Матрицей Гурвица стандартного полинома

f(z) = a

0

+a z +... +a

n

zn

(a

0

> 0, a

n

0)

 

1

 

 

 

 

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________47

называется матрица n ×n вида

Γf =

a1

a0

0

0..........

....0

0

0

a3

a2

a1

a0 ............

0

0

0

a5

a4

a3

a2 ....................

 

........

 

......................................................

..........

..........

 

.................

an

an-1

an-2

0

0

0

0.............

0

0

an

.

Нечетные столбцы матрицы Гурвица состоят из коэффициентов при нечетных степенях полинома f, а четные – из коэффициентов при четных степенях, причем k -й столбец (k > 2) получается сдвигом “вниз” ( k - 2)-го столбца на одну позицию.

Теорема 1 (Критерий Рауса-Гурвица). Для того чтобы стандартный полином f(z) являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные (т.е. угловые) миноры его матрицы Гурвица были положительны, т.е.

1 = a1 > 0 ,

2 =

a1

a0

> 0 , …..,

n = a n

n-1 > 0 2.

(1)

 

 

a3

a2

 

 

 

 

□ Необходимость.

Пусть

f(z)

– полином Гурвица, т.е. f(z) Hn . Прове-

рим выполнение условий Гурвица (1) индукцией по числу n.

 

При n =1 имеем

f(z) = a0 +a1z . Так как

f(z) H1 , то a0 > 0 и a1 0 ,

причем корень полинома

f(z) есть z1

= −a0 < 0

. Следовательно,

1 = a1 > 0 .

 

 

 

 

a1

 

 

 

Теперь допустим, что теорема верна для всех полиномов

f(z) Hn . До-

кажем ее справедливость для произвольного полинома

F(z) Hn+1 . Согласно

теореме 3 предыдущего параграфа полином F(z) можно рассматривать как присоединенный для некоторого стандартного полнома f(z) Hn , т.е.

F(z) = (1 + 2cz) f(z) +f(z) A

0

+ A z +.... + A

zn+1

,

(**)

 

 

 

 

 

1

n+1

 

 

где некоторое c > 0.

 

 

 

zn , из (**) следует

 

 

 

Поскольку f(z) = a

0

+a z +... +a

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 Эти неравенства называют условиями Гурвица для полинома f(z).

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________48

n+1

 

 

1 +(1)k

 

 

k

 

F(z) = 2

c ak1

+

 

 

ak

z

 

,

2

 

k=0

 

 

 

 

 

 

где a1 = an+1 = 0.

Составим главный диагональный минор (k +1) -го порядка

 

 

 

ca0

a0

0

...........0

 

T

= 2k+1

 

ca2

ca1 +a2

ca0

a0..........

 

 

 

 

 

 

k+1

 

 

.............................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

ca2k

ca2k1 +a2k

ca2k2

ca2k3 +a2k2...

 

матрицы Гурвица

ΓF для полинома F(z) , k =1,2,...,n , T1 = 2ca0 > 0.

Вынесем за знак определителя общие множители c из нечетных столбцов. Затем вычтем из элементов 2-го, 4-го,… столбцов соответствующие оставшиеся элементы 1-го, 3-го,… столбцов. Получим

 

 

 

 

a0

0

0

0 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

+1

= 2k+1 ck+1

 

a2

a1

a0

0 ...

 

 

= (2c)k+1 a

0

 

k

,

k

 

 

....... ....... ....... ....... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2k

a 2k1

a2k2

a 2k3 ...

 

 

 

 

 

 

 

где k – угловые миноры порядка k

матрицы Гурвица для полинома f(z) .

Так как согласно индуктивному предположению

k > 0, k =1,2,...,n , то

и Tk+1 > 0,

k = 0,1,....n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточность. Пусть для стандартного полинома f(z) выполнены условия Гурвица (1). Докажем что f(z) Hn . Вновь применим метод математиче-

ской индукции.

При n =1 имеем f(z) = a0 + a1z , где a0 > 0 , 1 = a1 > 0 . Корень этого

полинома расположен в левой комплексной полуплоскости: z1 = −a0 < 0 . a1

Предположим, что теорема верна для всех полиномов f(z) Hn . Рассмотрим произвольный стандартный полином

F(z) = A0 + A1z +.... + An+1zn+1

степени n +1, для которого выполняются условия Гурвица, т.е.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке TUD