ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________35

ственную часть или хотя бы для одного собственного значения λj с нулевой вещественной частью выполняется неравенство n −rang(A −λjE) < k j .

З а м е ч а н и е 1. Устойчивая линейная однородная система (1) с постоянной матрицей А равномерно устойчива относительно t0 [0,+∞) .

□ В самом деле, произвольное решение x(t) системы (1) имеет вид

x(t)= e(t −t0 ) A x(t0 ).

Поэтому для любого ε > 0 с учетом ограниченности решений устойчивой системы (точнее говоря, с учетом неравенства e(t−t0 ) A ≤ c при некотором c > 0) выполнено

вое решение равномерно устойчиво, а значит все решения системы (1) равномерно устойчивы при t → +∞ ■

20. Критерий асимптотической устойчивости. Перейдем к решению вопроса асимптотической устойчивости линейной системы (1).

Теорема 2. Линейная однородная система (1) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения λj, j =1,2,...,n , матрицы А имеют отрицательные вещественные час-

□ Достаточность. Обозначим λ1,...,λm (m ≤ n) – все собственные значе-

ния матрицы А, отвечающие различным клеткам Жордана. По условию имеет место неравенство (3).

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________36

Как известно, любое решение системы (1) может быть представлено в ви-

де

t→+∞

асимптотически устойчива.

Необходимость. Пусть система (1) асимптотически устойчива. Тогда она устойчива, а значит вещественные части всех ее собственных значений неположительны. Для доказательства предположим противное: существует собственное значение λs = i μs (s {1,2,..., n}) с нулевой вещественной частью, т.е.

Re λs = 0 . В этом случае система (1) имеет некоторое решение вида

ζ = ζ(t)= eλs t c ≡ (cos(μs t) +i sin (μs t)) c ,

где c – некоторый ненулевой вектор-столбец. Поэтому ζ = c ≠ 0 , а значит

предельное соотношение ζ(t) → 0 не может выполняться. Это противоречит

t→+∞

асимптотической устойчивости системы (1) ■ Как следует из доказанной теоремы 2, вопрос об асимптотической устой-

чивости системы (1) сводится к проверке того, что все корни характеристического уравнения det(A −λE)= 0 имеют отрицательные вещественные части, т.е. расположены в левой открытой комплексной полуплоскости.

30. Устойчивость решения линейного уравнения n-го порядка. Рас-

смотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

С помощью замены

перейдём к равносильной системе

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________37

Задача об устойчивости уравнения (4) может быть сведена к аналогичной задаче для системы (5). При этом, говоря об устойчивости уравнения (4), будем

где x(t) – произвольное решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям

x(t0 ) = x(0)0 , x&(t0 ) = x(1)0 ,...,x(n −1) (t0 ) = x(n0 -1) .

З а м е ч а н и е 2. Характеристическое уравнение для (4) имеет вид

λ(n) +an−1 λ(n−1) +... +a1 λ +a0 = 0.

Пример 1. Предположим, что производство некоторого продукта x управляется руководителем, принимающим решение о скорости производства, т.е.

x& = y .

1 Если некоторое решение уравнения (4) является устойчивым, то это уравнение также называют устойчивым.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________38

В свою очередь, поведение руководителя y управляется руководителем второго ранга:

y& = z

и т.д. Генеральный руководитель (наивысшего ранга n) реализует обратную связь: его решение основывается не на желании выполнить приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела. Например, он может желать достичь уровня X величины x и будет влиять на руководителя предыдущего ранга в положительную сторону, если требуемый уровень X не достигнут, и в отрицательную сторону, если он превзойдён. Следовательно,

x& = y,

y& = z,

KKKKKK

&

w = −k (x − X), k > 0.

Перепишем эту систему в виде одного уравнения n-го порядка: x(n ) = −k (x − X).

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:

λn = −k .

Корни этого уравнения образуют вершины правильного n-угольника на комплексной плоскости.

При n = 1 корень лежит в левой полуплоскости (области асимптотической устойчивости), при n = 2 корни находятся на границе устойчивости, тогда как при n ≥3 некоторые вершины правильного треугольника обязательно попадут в правую полуплоскость, отвечающую области неустойчивости (рис. 1.7). Для последующих значений n это положение будет сохраняться.

Im λ