Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
X
- •ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
- •Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова.
- •§ 1. Знакоопределенные функции
- •Рассмотрим вещественную непрерывную числовую функцию
- •Следует заметить, что в качестве W(x) из приведённого определения иногда удается использовать функцию вида
- •О п р е д е л е н и е 2. Положительно или отрицательно определенную функцию именуют знакоопределенной.
- •Пример 1. Рассмотрим функцию
- •Если |a| < 1, то она является положительно определенной, так как
- •причем
- •При a = 1 функция V1 имеет вид
- •З а м е ч а н и е 1. Если функция V = V(x) непрерывна в начале координат и V(0) = 0, то, очевидно, V допускает б.м.в.п.
- •З а м е ч а н и е 2. Для того чтобы установить, что функция V(t, x) имеет б.м.в.п., достаточно убедиться в существовании непрерывной в точке х = 0 функции W(x), удовлетворяющей следующим двум условиям:
- •Пример 2. Функция
- •на основании замечания 2 допускает б.м.в.п. в силу
- •тогда как функция
- •Упражнения
- •1) Выяснить, являются ли данные функции положительно определенными:
- •2) Определить, допускают ли указанные функции б.м.в.п.:
- •§ 2. Теорема Ляпунова об устойчивости
- •Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
- •Будем считать, что система (1) имеет нулевое решение ξ = 0, т.е.
- •есть градиент функции V.
- •Пример 1. Пусть
- •Тогда производная функции V в силу данной системы имеет вид
- •Введем сферу
- •где произвольно выбранное ε удовлетворяет неравенствам 0 < ε < H. Очевидно, Sε – непустой компакт и функция W непрерывна на нем. Введём
- •Рассмотрим функцию
- •По условию теоремы
- •что невозможно.
- •если только ||x(t0)|| < δ. Полученное означает, что нулевое решение ξ = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову ■
- •Для линейной однородной системы устойчивость нулевого решения влечет ограниченность каждого решения этой системы. Поэтому имеет место следующее
- •существует положительно определенная функция V(t, x), для которой производная в силу системы неположительна, то все решения этой системы определены и ограничены при t ≥0.
- •Пример 1. Рассмотрим систему
- •и исследуем на устойчивость её нулевое решение х = 0, y = 0. Примем
- •Имеем V > 0 для всех x,y, одновременно не обращающихся в нуль, и
- •Это говорит о том, что функций, удовлетворяющих условия теоремы 1, может быть бесконечно много.
- •Проблема: построить функцию Ляпунова V(t, x), т.е. такую функцию, которая удовлетворяет условиям теоремы 1.
- •Упражнения
- •3) С помощью теоремы 1 установить устойчивость нулевого решения уравнения
- •§ 3. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
- •Вновь обратимся к системе
- •По условию теоремы
- •С учетом обозначения
- •Поэтому полученная выше оценка сверху для v(t) принимает вид
- •Отсюда при достаточно большом t следует
- •В итоге установлено равенство
- •Следовательно, предельное соотношение (#) истинно ■
- •Следствие 1. Если для линейной однородной системы
- •Заметим, что равенства нулю всех частных производных функции V вытекают из условия положительной определённости и предположения о непрерывной дифференцируемости этой функции в начале координат (в этом можно легко убедиться, предположив противное).
- •Рассмотрим систему
- •Пример 2. Исследуем на устойчивость нулевое решение уравнения
- •Если a = 0, то, очевидно, нулевое решение устойчиво, но не является асимптотически устойчивым.
- •где m+1 – четное. Следовательно, если a < 0, то функция V удовлетворяет всем требованиям последней теоремы, а значит нулевое решение асимптотически устойчиво.
- •Упражнения
- •1) С помощью надлежащей функции Ляпунова установить асимптотическую устойчивость нулевого решения уравнения
- •2) Подобрать функцию Ляпунова и с её помощью установить асимптотическую устойчивость нулевого решения системы
- •§ 4. Теоремы Ляпунова о неустойчивости
- •10. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.
- •Теорема 1. Пусть для системы
- •1) V(t,x) допускает б.м.в.п.;
- •Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.
- •□ Согласно условию 3) имеем
- •Пусть
- •Это означает, что нулевое решение системы (1) неустойчиво по Ляпунову ■
- •20. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.
- •Упражнения
- •2) Проверить, что указанные функции являются функциями Ляпунова для систем
- •имеющих неустойчивое нулевое решение.
- •§ 5. Экспоненциальная устойчивость
- •выполнено неравенство
- •Как показывает следующий результат, экспоненциальная и асимптотическая устойчивость в классе линейных однородных систем с постоянной матрицей совпадают.
- •Лемма 2. Линейная однородная система
- •с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда эта система экспоненциально устойчива (т. е. экспоненциально устойчивым является всякое её решение).
- •Всякое решение линейной системы (4) может быть представлено в виде
- •Введём числа
- •Очевидно,
- •Из курса линейной алгебры известно, что
- •Далее
- •А значит,
- •с непрерывной на промежутке [0, +∞) матрицей A(t). Для таких систем нередко вводят несколько более «жёсткое» понятие экспоненциальной устойчивости, чем это было сделано выше.
- •Нетрудно понять, что из экспоненциальной устойчивости системы (5) вытекает её асимптотическая устойчивость (но не обратно). В случае, когда матрица A(t) = A постоянна, оба указанных понятия эквивалентны.
- •В следующей теореме представлен критерий экспоненциальной устойчивости системы (5).
- •Поскольку
- •Рассмотрим подынтегральное выражение из (9):
- •Используя условие 1), для него можно записать
- •В таком случае из равенства (9) вытекают неравенства
- •Аналогичным образом поступим и с правым неравенством:
- •Из последних двух неравенств легко вывести (6) ■
- •которое именуют матричным уравнением Ляпунова.
- •имела единственное решение относительно P и чтобы это решение представляло собой симметричную положительно определённую матрицу.
- •Упражнения
- •1) Проверить, являются ли экспоненциально устойчивыми нулевые решения следующих уравнений
- •§ 6. Устойчивость квазилинейных систем
- •Линейная система
- •называется системой линейного приближения системы (1).
- •то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
- •Рассмотрим функцию
- •С учётом (*) для нее получаем представление
- •Получим
- •Напомним, что x – вектор-столбец. Благодаря
- •имеем
- •если только
- •Из доказанной теоремы вместе с теоремой 1 предыдущего параграфа получаем следующее утверждение.
- •Следствие 1. Рассмотрим нелинейную систему
- •Следствие 2. Рассмотрим нелинейную автономную систему
- •и можно применить доказанную выше теорему 1 ■
- •20. Теорема Ляпунова о неустойчивости квазилинейной системы.
- •Теорема 2. Пусть дана нелинейная система
- •□ Пусть
- •Выполним замену
- •где вектор y, вообще говоря, комплексный. Имеем
- •Поэтому
- •Положим
- •и перепишем систему (*) следующим образом
- •Переходим к комплексно-сопряженной системе:
- •Очевидно,
- •Поэтому для функции
- •получаем представление
- •Полагая
- •Если теперь вернуться к исходной переменной, то получим
- •откуда
- •Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы второго порядка
- •где a – const. Воспользовавшись формулой Маклорена, найдем разложения правых частей системы и перепишем её в виде квазилинейной системы
- •Упражнения
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость нулевые решения следующих систем:
- •§ 7. Теорема Зубова
- •Рассмотрим автономную дифференциальную систему
- •в которой
- •Относительно вектор-функции f будем предполагать следующее:
- •□ Ограничимся доказательством лишь части «достаточность» (доказательство второй части можно найти в [7]). По условию функция V(x) – отрицательно определена, а её производная по времени в силу системы (1) положительно определена, так как
- •С этой целью выполним замену, осуществляющую изменение переменной времени по правилу
- •где правые части уравнений непрерывны и ограничены относительно x, так как
- •вытекающим из условия 3) доказываемой теоремы ■
- •З а м е ч а н и е 1. Уравнение в частных производных
- •из последнего условия теоремы 1 называют уравнением Зубова.
- •З а м е ч а н и е 2. На основе теоремы 1 разработан метод Зубова построения оценки области асимптотической устойчивости, общая идея которого состоит в следующем. Пусть система (1) представима в виде
- •где A − постоянная матрица,
- •Существует вычислительный алгоритм построения оценок области притяжения для случая, когда в качестве V(x) выбрана положительно определенная квадратичная форма.
- •2) отрицательно определена;
- •4) удовлетворяет равенству
- •Как видим, все условия теоремы Зубова выполнены, поэтому множество A является областью притяжения нулевого решения.
- •Упражнения
- •1) Построить область асимптотической устойчивости для уравнения
- •2) Построить область асимптотической устойчивости для системы
ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________114
Как видим, все условия теоремы Зубова выполнены, поэтому множество A является областью притяжения нулевого решения.
Упражнения
1) Построить область асимптотической устойчивости для уравнения
x& = arctg(sin x x−1) .
2) Построить область асимптотической устойчивости для системы
x& = −x +2x2 y,
y& = −y.