V(t, x(t)) ≥ V(t,

x) + γ(t − t) ,

что противоречит установленной ранее ограниченности функции V(t, x) в об-

ласти

{(t,x) |t ≥ 0,

x

≤ 0 }.

и произвольно выбранного

Таким образом, для фиксированного

0 > 0

δ (0, 0 ) указано ненулевое решение

x(t) , для которого при некотором t1 >

t

имеют место неравенства

0 <

< δ,

x(t1)

>

0 .

x(t)

Это означает, что нулевое решение системы (1) неустойчиво по Ляпунову ■

&

= a x

m

. Теперь рассмотрим случай,

Пример 1. Вернемся к уравнению x

когда

a > 0 и m – нечетное число. Функция Ляпунова V (x) = x2

при a > 0

1

20. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 2. Пусть существует функция

V(t,x) C(1,1)tx (Ζ), обладающая

следующими свойствами:

1)

функция V(t, x)

ограничена сверху в некоторой

0 -окрестности

точки x = 0, т.е. существует M > 0, такое, что V(t, x) ≤ M

для всех

t ≥ 0 и всех x, удовлетворяющих ;

2)

существует число

≥ 0 такое, что для любого δ > 0

найдётся точ-

t

ка x , удовлетворяющая неравенствам

x

x) > 0 ;

< δ, V(t,

3)

производная функции V(t, x) в силу системы (1) представима в виде

dV

= λV(t, x) + W(t,x)

для всех (t, x) Z ,

(2)

dt

(1)

где λ – некоторая положительная константа, а W(t, x) является не-

которой непрерывной неотрицательной функцией при t ≥ 0 ,

x

≤ H .

Тогда для любого ε (0,

0 ) и t =

можно подобрать число δ > 0 такое, что

t

из неравенства

< δ

всякий раз будет следовать

x(t)

x(t;

t ≥

.

t, x(t))

< ε < 0

t

dx

= f(t,x)

(t ≥ 0),

(1)

dt

где f(t, 0) = 0 для всех t ≥ 0, причем f(t, x)

непрерывна в Z = {(t, x) | t ≥ 0 ,

x(t)

≤ Ν

x(t0 )

e

−α(t−t0 )

t ≥ t0 ,

(2)

в котором некоторые положительные числа

N и

α

не зависят от выбора x(t).

Лемма 1. Из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая

устойчивость нулевого решения системы (1).

ε > 0 .

□ В самом деле, выберем произвольное

Для любых начальных

данных

(t

0

, x

0

) Z

0

,

удовлетворяющих неравенству

x

0

<

ε

N

,

рассмотрим

решение

x = x(t) = x(t; t0 , x0 ) , x(t0 ) = x0 ,

и положим

δ:=

ε

.

Ν

Тогда для введённого δ из (2) вытекает

x(t)

≤ Ν

ε

e−α(t−t0 ) < ε

t ≥ t0 .

Ν

ξ = 0

устойчиво по Ляпунову. Более того,

Следовательно, нулевое решение

имеет место равенство

lim x(t) = 0 ■

t→+∞

Аналогичным образом определяется экспоненциальная устойчивость лю-

бого (в том числе ненулевого) решения. А именно, решение

ξ(t)

системы (1)

экспоненциально устойчиво, если при некотором

h

>

0

любое решение

x(t) = x(t; t0 , x0 ) , такое, что

t0 ≥ 0,

x(t0 ) −ξ(t0 )

< h < H ,

удовлетворяет нера-

венству

|| x(t) −ξ(t)|| ≤ Ν ||x(t0 )

− ξ(t0 ) || e

−α(t − t0 )

t ≥ t0

(3)

при некоторых положительных постоянных

N и

α.

dx

= A x

(4)

dt

собственные значения λj матрицы

А

имеют отрицательные вещественные

части, т.е. Re λj < 0, j = 1,2,...,n . Положим (т.е. введём

α)

max Re λj

< −α < 0 .

j

Тогда (см. гл. 1, § 12 [2]) для матричной экспоненты при некотором N > 0

справедлива оценка

etA

≤ N e−αt

t ≥ t0 .

(*)

≤ N || x(t0 )|| e

−α(t − t0 )

t ≥ t0 .

Если в это неравенство вместо x(t)

подставить разность x(t) − ξ(t) , где ξ(t)