Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TUD_Nogin / TUD / part2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

808.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________98

≤

В таком случае из равенства (9) вытекают неравенства

−

(t−t0 )

−

(t−t0 )

V(t

, x

≤ V (t; t

, x

) ≤

V(t

, x

) e a1

) e

Заменим V(t0, x0)

в левом неравенстве на

2 , а V1 – на

2 :

−

(t−t

)

2 .

a1 || x0 ||2 e

≤ a2

x(t)

Аналогичным образом поступим и с правым неравенством:

2 ≤ a2 || x0 ||2 e

−

(t−t

)

x(t)

Из последних двух неравенств легко вывести (6) ■

30. Матричное уравнение Ляпунова. Перепишем уравнение (7) с учётом

равенств V(t,x) = xT P(t) x и

W(t,x) = xT Q(t) x :

dxT

P(t) x +x

dP(t)

x + x

P(t)

= −x

Q(t) x .

Поскольку x = x(t)

– решение системы (5), имеем

= xT AT (t) P(t) + dP(t) +P(t) A(t)

x = −xT Q(t) x .

Отсюда благодаря произвольности выбора x = x(t) следует равенство
	dP(t)	+ AT (t) P(t) + P(t) A(t) = −Q(t) ,	(10)
	dt

которое именуют матричным уравнением Ляпунова.

Оказывается, в частном случае, когда A – постоянная матрица, в качестве матрицы Q также можно выбрать постоянную положительно определённую матрицу1. Тогда уравнение (10) будет иметь единственное решение в виде постоянной матрицы P, причём эта матрица будет положительно определённой.

В соответствии с этим, для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (5) с постоянной матрицей A необходимо и достаточ-

1 Напоминаем, что симметричная матрица положительно определена, если таковой же является квадратичная форма с данной матрицей.

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________99

но, чтобы для произвольно выбранной постоянной положительно определённой матрицы Q линейная алгебраическая система

AT P +P A = −Q

имела единственное решение относительно P и чтобы это решение представляло собой симметричную положительно определённую матрицу.

Упражнения

1)Проверить, являются ли экспоненциально устойчивыми нулевые решения следующих уравнений

i)x& = −xt 14 ,

ii)x& = −xsin2 t ,

iii)x& = −x ln(1+t)1+t .

§ 6. Устойчивость квазилинейных систем

Существует класс нелинейных дифференциальных систем, правые части которых близки к правым частям некоторых линейных систем в окрестности положения равновесия. В таком случае оказывается, что с точки зрения устойчивости в обоих классах систем положения равновесия ведут себя сходным образом. Соответствующие результаты формулируются ниже.

10. Теорема Ляпунова об устойчивости квазилинейной системы. Рас-

смотрим нелинейную дифференциальную систему

= A x +ϕ(t, x)

(t ≥ 0) ,

(1)

где А – постоянная матрица размера n × n и векторная функция ϕ(t, x)

опре-

делена и непрерывна на множестве {(t,x) | t ≥ 0,

≤ H}.

Будем предполагать, что ϕ(t, 0) = 0

для всех t ≥ 0, т.е. система (1) имеет

нулевое решение (положение равновесия).

Линейная система

ddtx = A x

называется системой линейного приближения системы (1).

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________100

Теорема 1. Предположим, что функция ϕ(t, x) удовлетворяет условию

||ϕ(

x) || →→ 0

равномерно по t ≥ 0 при x →0 .

(2)

Если при этом все собственные значения λj,

j = 1,2,...,n , матрицы А имеют

отрицательные вещественные части, т. е.

Re λj

< 0, j = 1,2,...,n ,

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

□ Через ξ(t; x)

обозначим решение соответствующей линейной систе-

мы:

dξ

= A ξ

(3)

с начальным условием

(0,x) , т.е.

ξ(0;x) = x Rn .

Пусть K(t) – нормированная фундаментальная матрица (матрицант) сис-

темы (2), K(0) = E . Имеем

ξ(t; x) = K(t) x .

(*)

В силу отрицательности вещественных частей собственных значений λj

при

некотором N > 0 выполнено

||K(t)|| ≤ N e−αt

t ≥ 0 ,

где max Re λj < −α < 0 . Отсюда

ξ(t;x)

≤ N e−αt

t ≥ 0 .

(**)

Рассмотрим функцию

+∞

V(x) = ∫ || ξ(τ; x)||2dτ.

С учётом (*) для нее получаем представление

+∞

V(x) = ∫ K(τ) x, K(τ) x dτ = ∫ KT (τ) K(τ) x, x dτ = S x, x ,

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________101

+∞

где S := ∫ KT (τ) K(τ)dτ.

Таким образом, V(x) – квадратичная форма относительно переменных

x1	, ... , xn с вещественной симметричной матрицей S = (Sjk )	.
		n x n
	В силу (**) интеграл, определяющий V, сходится. Поэтому квадратичная

форма V определена на Rn и конечна, причём на основании единственности решения линейной системы (2) верно

V(x) > 0	x ≠ 0,
V(0) = 0 .
Воспользуемся групповым свойством ξ(t;ξ(τ;x)) = ξ(t + τ;x) решений

автономной системы (2), которое выражает тот факт, что состояние системы ξ(t+τ; x) (т.е. правая часть написанного выше равенства) к моменту времени t + τ, полученное перемещением вдоль траектории из начальной точки x = ξ(0; x), может быть достигнуто движением вдоль этой траектории из «промежуточной» точки ξ(τ;ξ(0; x)) за время t (см. рис. 2.4).

ξ(τ;ξ(0; x))

ξ(t+τ; ξ(0; x)))

ξ(0; x) = x

Рис. 2.4. Иллюстрация группового свойство системы.

Получим

+∞	+∞	+∞
V(ξ(t; x)) = ∫ \|\| ξ(τ; ξ(t; x)) \|\|2dτ = ∫ \|\| ξ(t + τ;x) \|\|2dτ = ∫ \|\| ξ(τ;x)\|\|2dτ.
0	0	t
Дифференцируя V(ξ(t; x))	по t в силу системы (2) в точке x, находим

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке TUD

#
16.04.2015392.6 Кб38intro.pdf
#
16.04.2015435.57 Кб39part1-1.pdf
#
16.04.2015577.16 Кб43part1-2.pdf
#
16.04.2015463.96 Кб57part1-3.pdf
#
16.04.2015808.23 Кб61part2.pdf
#
16.04.2015564.68 Кб36part3.pdf