Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TUD_Nogin / TUD / part1-3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

463.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________67

u(t) ≤ c + ∫f(τ) um (τ)]d

t ≥ t0

(5)

∫

f(τ)dτ <

t ≥ t0 ,

(6)

(m −1) cm−1

где m > 1 и c – некоторая положительная константа.

Тогда имеет место неравенство

u(t) ≤

t ≥ t0 .

(7)

m−1

−(m −1) cm-1 ∫f(τ)dτ

□ Из неравенства (5) следует

∫

[u(t)]m ≤ c

f(τ) um

(τ)]dτ

t ≥ t0 .

140 4424443

=ω(t)>0

Отсюда с учётом (5) получаем

f(t) um (t)

ω′(t)

≤ f(t)

t ≥ t0 .

ωm (t)

ωm(t)

Интегрируя полученное неравенство, находим

′

ω(t)

dω

∫

ω(τ)dτ

∫

∫f(τ)dτ.

≤

(τ)

ω(t0 )

В силу m > 1 и ω(t 0 ) = c

имеем

1−m

ω(t)

= ω

1−m

(t) −

≤ ∫f(τ)dτ,

1 −m

(1 −m) c

m−1

ω(t0 )

1 −m

а значит

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________68

	1		1−m				m−1		t
			≥ c	1	−(m −1)	c		∫f(τ)dτ ,
ω	m−1	(t)	≥ c	1	−(m −1)	c		∫f(τ)dτ ,
ω		(t)						t	0
									0

где благодаря (6) выражение, записанное в квадратных скобках, строго положительно. Тогда

cm−1

ωm−1(t) ≤ 1 −(m −1) cm−1 ∫tt0 f(τ)dτ .

Теперь, извлекая из обеих частей данного неравенства корень положительной степени m – 1, с учётом неравенства u(t) ≤ ω(t) для всех t ≥ t0 легко прийти к

требуемому результату (7) ■

§ 10. Устойчивость линейных систем с переменной матрицей

10. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. На основе леммы Гронуолла-Беллмана здесь будет показано, что при определённых предположениях устойчивость (а также асимптотическая устойчивость) линейной однородной дифференциальной системы, матрица которой «незначительно отличается» от некоторой постоянной матрицы A (т.е. является почти постоянной), вытекает из устойчивости (соответственно – из асимптотической устойчивости) линейной системы с матрицей A.

Теорема 1. Пусть линейная система

dx	= A x	(t ≥ 0)	(1)
dt

где A – постоянная матрица размера n ×n , устойчива. Тогда устойчивой будет и система

	dy	= (A + B(t)) y	(t ≥ 0)	(2)
	dt	= (A + B(t)) y	(t ≥ 0)	(2)
	dt
где матрица B(t) C[0,+∞) такова, что
		+∞
		∫\|\| B(t) \|\| dt < +∞.		(3)
		0

□ Воспользуемся формулой Коши

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________69

	t
y(t) = et A y(0) + ∫e(t −τ) A B(τ) y(τ)dτ				t ≥ 0 .
Отсюда	0
Отсюда
	t
\|\| y(t) \|\|≤\|\| et A \|\| \|\| y(0) \|\| +∫\|\| e(t −τ) A \|\| \|\| B(τ) \|\| \|\| y(τ) \|\|dτ					t ≥ 0 .
	0
Так как система (1) устойчива, то её фундаментальная матрица					et A ограниче-
на, т.е. существует константа	K > 0, при которой \|\| et A \|\|≤ K				для всех t ≥ 0 .
Поэтому	t
	t
\|\| y(t) \|\|≤ K \|\| y(0) \|\| +∫K \|\| B(τ) \|\| \|\| y(τ) \|\|dτ				t ≥ 0 .
	0
Применяя лемму Гронуолла-Беллмана и используя условие (3), получаем
			t
\|\| y(t) \|\|≤ K				≤
\|\| y(t) \|\|≤ K	\|\| y(0) \|\| exp K ∫\|\| B( τ) \|\| dτ			≤
			0
		+∞

≤ K \|\| y(0) \|\| exp K ∫\|\| B( τ) \|\| dτ < +∞,
		0

что означает ограниченность каждого решения y(t) системы (2) на полуоси [0;+∞) . Значит, эта система устойчива по Ляпунову ■

Как показал О. Перрон, для переменной матрицы A = A(t) доказанная теорема в общем случае не верна.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

&&		2		b	(t ≥ 0).
	+(a		+	(t +1)2 ) x = 0
x

Оно эквивалентно системе

x& = y,

y& = −(a 2 + (t +b1)2 )x,

или

6447448

64748

1 x

−a2

−

−a

−

(*)

(t +1)

(t +1)2

0 y

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________70

Характеристическое уравнение для матрицы соответствующей линейной системы имеет вид

det(λΕ− Α) =	λ	−1	= λ2	+a 2	= 0 .

	a2	λ

Находим его корни λ1,2

устойчива. Далее,

B =

а значит

= ±a i . Следовательно, линейная система

xy&& =А xy

	0	0		\| b \|
	b
−		0	= (t +1)2		t ≥ 0 ,
	(t +1)2

+∞

∫B(t)dt < +∞.

Поэтому почти линейная система (*) также является устойчивой.

В теореме 1 речь шла об устойчивости линейной системы с почти постоянной матрицей. Вопрос об асимптотической устойчивости указанной системы решается в следующем утверждении.

Теорема 2. Если линейная однородная система

dx	= Α x	(t ≥ 0)
dt

с постоянной матрицей А асимптотически устойчива, то таковой же будет и возмущенная линейная система

		dy	= (A + B(t)) y	(t ≥ 0) ,	(5)
			= (A + B(t)) y	(t ≥ 0) ,	(5)
		dt
где матрица В(t) C[0,+∞)		такова, что B(t) → 0 .
				t→+∞
■ В силу асимптотической устойчивости системы (1) собственные значе-
ния λj(A)	матрицы А	обладают отрицательными вещественными частями.
Положим	α = max Reλj(A) < 0 и выберем ε > 0 настолько малым, чтобы было
	j
выполнено	α+2ε < 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке TUD

#
16.04.2015392.6 Кб36intro.pdf
#
16.04.2015435.57 Кб37part1-1.pdf
#
16.04.2015577.16 Кб41part1-2.pdf
#
16.04.2015463.96 Кб55part1-3.pdf
#
16.04.2015808.23 Кб59part2.pdf
#
16.04.2015564.68 Кб34part3.pdf

где m > 1 и c – некоторая положительная константа.

Тогда имеет место неравенство

□ Из неравенства (5) следует

Отсюда с учётом (5) получаем

Интегрируя полученное неравенство, находим

а значит

где благодаря (6) выражение, записанное в квадратных скобках, строго положительно. Тогда

§ 10. Устойчивость линейных систем с переменной матрицей

Теорема 1. Пусть линейная система

□ Воспользуемся формулой Коши

Отсюда

Применяя лемму Гронуолла-Беллмана и используя условие (3), получаем

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Оно эквивалентно системе

Характеристическое уравнение для матрицы соответствующей линейной системы имеет вид

устойчива. Далее,

а значит

Поэтому почти линейная система (*) также является устойчивой.

Теорема 2. Если линейная однородная система

с постоянной матрицей А асимптотически устойчива, то таковой же будет и возмущенная линейная система