Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТУ - лекции Овсянникова / 22.Вариационное исчисление.Условие сильного минимума

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
137 Кб
Скачать

Лекция 22. Связь вариационного исчисления с принципом максимума Л.С. Понтрягина. Условие сильного минимума Вейерштрасса и Лежандра.

Уравнение Эйлера.

Рассмотрим вариационную задачу, а именно, задачу минимизации функционала

I(y) = Zab F (x; y(x); y(x))dx

(1)

при условии

(2)

y(a) = ya; y(b) = yb:

Задачу минимизации функционала будем рассматривать на классе непрерывно -дифференцируемых функций: y 2 C1[a; b].

40

Переформулируем вариационную задачу. Рассмотрим уравнение

dy

= u(x):

(3)

dx

 

 

Функционал (1), в этом случае, можно запсиать в виде

Z b

I(u) =

F (x; y(x); u(x))dx

(4)

a

Таким образом, задача минимизации функционала (1) свелась к задаче минимизации функционала (4) при краевых условиязх (2) для уравнения (3). Это есть задача оптимального управления. В дальнейшем рассмотрим задачу минимизации функционала с закрепленным левым концом, т.е. при условии (3) и условии

y(a) = ya:

(5)

Это есть также задача оптимального управления (Задача Лагранжа) и она совпадает с задачей вариационного исчисления в случае, если фиксирован только левый конец (условие (5)).

41

Усложним задачу минимизации (3)-(5): наложим ограничения на управления, а именно, для 8x; u(x) 2 U: Здесь U множество значений управлений u = u(x):

Эту задачу можно также понимать как вариационную задачу, но при условии y(x) 2 U: На основе принципа максимума Л.С. Понтрягина можно выписать условия экстремальности дя этого случая.

предполагаем далее, что y(x) и u(x) есть n–мерные вектор функции, т.е.

y(x) =

0 y1(.x) 1

; u(x) =

0 u1(.x) 1

;

 

@ yn(x) A

 

@ un(x) A

 

0 1

ya1

ya = @ . A: yan

Постановка задачи управлением (3)–(5) в этом случае не меняется.

42

Выпишем принцип максимума для этой задачи. При этом сначала сведем задачу Лагранжа к задаче Майера. Имеем

 

dy

= u(x)

8dx

>

 

 

>

 

 

>

 

 

<

 

 

(6)

>dyn+1

>= F (x; y(x); u(x))

:

dx

и начальные условия

(

y(a) = ya

(7)

yn+1(a) = ya

Функционaл (4) в этом случае примет вид

I(u) = yn+1(b):

(8)

43

Введем вектор ^ = ( 1; 2; : : : ; n; n+1)T и функцию Гамильтона

 

n

H(x; y; ^; u) =

X

iui + n+1F (x; y; u):

 

i=1

По принципу максимума функция H достигает максимума на оптимальном процессе при оптимальном управлении, т.е.

max H(x; y0(x); 0(x); u) = H(x; y0(x); 0(x); u0(x)):

u2U

Допустим, что максимум достигается во внутренних точках множества U, или U есть открытое множество. В частности, U может совпадать со всем пространством Rn. Тогда предыдущее условие можно заменить на следущее

@H(x; y0(x);

0(x); u0(x))

(9)

 

 

= 0

@u

 

 

 

 

44

Уравнение (9) есть уравнение Эйлера для нашей задачи. Покажем это. Продифферецируем H по u. Получим

 

 

 

 

 

@F

 

 

 

 

 

(10)

i + n+1

= 0;

i = 1; N

 

 

 

 

 

 

 

@ui

 

 

 

 

 

 

Перепишем уравнение (6) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy^

= f^(x; y;^ u):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

y^ = yny+1 ; f^ = F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

Тогда для сопряженной функции

мы имеем

 

 

 

 

 

^

 

 

 

^

T

 

 

 

 

dx =

@y^!

^:

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

@f

 

 

 

 

 

45

Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

@f^

 

0; : : : : : : ; 0; 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! =

B

 

0; : : : : : : ; 0; 0

C

;

 

 

 

 

 

@y^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@F

; : : : ;

@F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

; 0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

@y1

 

@yn

C

 

 

 

Получаем

8

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

@F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1; i = 1; n

 

 

 

> dxi =

 

 

@yi

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем

уравнение (11) и подставим в (10). Имеем

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x @F (x; y(x); u(x))

 

 

 

 

@F (x;

y(x); u(x))

 

i(a) Za

 

 

 

 

dx

n+1 + n+1

 

= 0: (12)

 

@yi

 

 

 

 

 

@ui

46

Уравнение (12) есть уравнение Эйлера в интегральной форме. Продифференцируем (12) по x. Получаем

@yi

+ dx@ui

n+1 = 0:

(13)

 

@F

 

d @F

 

 

Из (11) следует,что n+1 const: Предположим, что n+1 6= 0: Тогда из (13) получаем уравнение Эйлера для нашей задачи

 

@F

 

d @F

 

 

 

(14)

+

= 0; i = 1; n:

 

 

 

 

@yi

dx

@ui

Покажем, что n+1 6= 0: Как мы знаем, в случае терминальной задачи (задачи Майера), условие на конце при x = b для ^ имеет вид

^(b) = @g(y^(b)) T : @y^

47

В данном случае, g(y^(b)) = yn+1(b) и

@g

(^y(b))

= (0; : : : ; 1). Следова-

 

 

@y^

тельно n+1 1:

Таким образом, исходя из принципа максимума, мы получим, что уравнение Эйлера (14) имеет место в нашем случае.

48

Условие Вейерштрасса.

Пусть u оптимальное управление, y и вычислены при оптимальном управлении. Тогда

H(x; y; ; z) H(x; y; ; u) 0; 8z 2 U;

Так как при z = u функция H достигает максимума. Предположим, что имеет место равенство (9). Учитывая это, можно записать

 

 

 

n

 

@H(x; y;

; z)

 

 

 

Xn

ui)

n

 

 

 

 

 

 

 

@ui

=

H(x; y; ; z) H(x; y; ; u) (zi

Xn

 

 

i=1

 

 

 

 

izi + n+1F (x; y; z)

X

 

 

 

 

=

iui n+1F (x; y; u)

i=1

 

 

i=1

=

n+1E(x; y; z; u) 0:

i=1 (zi ui) i + n+1 @F (@ui

X

 

 

x; y; u)

 

 

 

 

49