ТУ - лекции Овсянникова / 22.Вариационное исчисление.Условие сильного минимума
.pdfЛекция 22. Связь вариационного исчисления с принципом максимума Л.С. Понтрягина. Условие сильного минимума Вейерштрасса и Лежандра.
Уравнение Эйлера.
Рассмотрим вариационную задачу, а именно, задачу минимизации функционала
I(y) = Zab F (x; y(x); y(x))dx |
(1) |
при условии |
(2) |
y(a) = ya; y(b) = yb: |
Задачу минимизации функционала будем рассматривать на классе непрерывно -дифференцируемых функций: y 2 C1[a; b].
40
Переформулируем вариационную задачу. Рассмотрим уравнение
dy |
= u(x): |
(3) |
|
dx |
|||
|
|
Функционал (1), в этом случае, можно запсиать в виде
Z b
I(u) = |
F (x; y(x); u(x))dx |
(4) |
a
Таким образом, задача минимизации функционала (1) свелась к задаче минимизации функционала (4) при краевых условиязх (2) для уравнения (3). Это есть задача оптимального управления. В дальнейшем рассмотрим задачу минимизации функционала с закрепленным левым концом, т.е. при условии (3) и условии
y(a) = ya: |
(5) |
Это есть также задача оптимального управления (Задача Лагранжа) и она совпадает с задачей вариационного исчисления в случае, если фиксирован только левый конец (условие (5)).
41
Усложним задачу минимизации (3)-(5): наложим ограничения на управления, а именно, для 8x; u(x) 2 U: Здесь U множество значений управлений u = u(x):
Эту задачу можно также понимать как вариационную задачу, но при условии y(x) 2 U: На основе принципа максимума Л.С. Понтрягина можно выписать условия экстремальности дя этого случая.
предполагаем далее, что y(x) и u(x) есть n–мерные вектор функции, т.е.
y(x) = |
0 y1(.x) 1 |
; u(x) = |
0 u1(.x) 1 |
; |
|
@ yn(x) A |
|
@ un(x) A |
|
0 1
ya1
ya = @ . A: yan
Постановка задачи управлением (3)–(5) в этом случае не меняется.
42
Выпишем принцип максимума для этой задачи. При этом сначала сведем задачу Лагранжа к задаче Майера. Имеем
|
dy |
= u(x) |
8dx |
||
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
< |
|
|
(6)
>dyn+1
>= F (x; y(x); u(x))
:
dx
и начальные условия
(
y(a) = ya
(7)
yn+1(a) = ya
Функционaл (4) в этом случае примет вид
I(u) = yn+1(b): |
(8) |
43
Введем вектор ^ = ( 1; 2; : : : ; n; n+1)T и функцию Гамильтона
|
n |
H(x; y; ^; u) = |
X |
iui + n+1F (x; y; u): |
|
|
i=1 |
По принципу максимума функция H достигает максимума на оптимальном процессе при оптимальном управлении, т.е.
max H(x; y0(x); 0(x); u) = H(x; y0(x); 0(x); u0(x)):
u2U
Допустим, что максимум достигается во внутренних точках множества U, или U есть открытое множество. В частности, U может совпадать со всем пространством Rn. Тогда предыдущее условие можно заменить на следущее
@H(x; y0(x); |
0(x); u0(x)) |
(9) |
|
|
|
= 0 |
|
@u |
|
||
|
|
|
44
Уравнение (9) есть уравнение Эйлера для нашей задачи. Покажем это. Продифферецируем H по u. Получим
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
(10) |
|||
i + n+1 |
= 0; |
i = 1; N |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@ui |
|
|
|
|
|
|
||
Перепишем уравнение (6) в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dy^ |
= f^(x; y;^ u): |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|||
y^ = yny+1 ; f^ = F |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
||
Тогда для сопряженной функции |
мы имеем |
|
|
|
||||||||||
|
|
^ |
|
|
|
^ |
T |
|
|
|
||||
|
dx = |
@y^! |
^: |
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
45
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
@f^ |
|
0; : : : : : : ; 0; 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
! = |
B |
|
0; : : : : : : ; 0; 0 |
C |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
@y^ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F |
; : : : ; |
@F |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
; 0 |
C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
@y1 |
|
@yn |
C |
|
|
|
|||||
Получаем |
8 |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n+1; i = 1; n |
|
|||||||||||||
|
|
> dxi = |
|
|
@yi |
|
|||||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем |
уравнение (11) и подставим в (10). Имеем |
|
|||||||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x @F (x; y(x); u(x)) |
|
|
|
|
@F (x; |
y(x); u(x)) |
|
||||||||||||||
i(a) Za |
|
|
|
|
dx |
n+1 + n+1 |
|
= 0: (12) |
|||||||||||||
|
@yi |
|
|
|
|
|
@ui |
46
Уравнение (12) есть уравнение Эйлера в интегральной форме. Продифференцируем (12) по x. Получаем
@yi |
+ dx@ui |
n+1 = 0: |
(13) |
||
|
@F |
|
d @F |
|
|
Из (11) следует,что n+1 const: Предположим, что n+1 6= 0: Тогда из (13) получаем уравнение Эйлера для нашей задачи
|
@F |
|
d @F |
|
|
|
(14) |
|||
+ |
= 0; i = 1; n: |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
@yi |
dx |
@ui |
Покажем, что n+1 6= 0: Как мы знаем, в случае терминальной задачи (задачи Майера), условие на конце при x = b для ^ имеет вид
^(b) = @g(y^(b)) T : @y^
47
В данном случае, g(y^(b)) = yn+1(b) и |
@g |
(^y(b)) |
= (0; : : : ; 1). Следова- |
|
|||
|
@y^ |
тельно n+1 1:
Таким образом, исходя из принципа максимума, мы получим, что уравнение Эйлера (14) имеет место в нашем случае.
48
Условие Вейерштрасса.
Пусть u оптимальное управление, y и вычислены при оптимальном управлении. Тогда
H(x; y; ; z) H(x; y; ; u) 0; 8z 2 U;
Так как при z = u функция H достигает максимума. Предположим, что имеет место равенство (9). Учитывая это, можно записать
|
|
|
n |
|
@H(x; y; |
; z) |
|
|
|
|
Xn |
ui) |
|||
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
@ui |
= |
||||
H(x; y; ; z) H(x; y; ; u) (zi |
|||||||
Xn |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
izi + n+1F (x; y; z) |
X |
|
|
|
|
||
= |
iui n+1F (x; y; u) |
||||||
i=1 |
|
|
i=1 |
= |
n+1E(x; y; z; u) 0: |
||
i=1 (zi ui) i + n+1 @F (@ui |
|||||||
X |
|
|
x; y; u) |
|
|
|
|
49