ТУ - лекции Овсянникова / 31.Линейная траспортировка пучков.Программное управление.Задачи синтеза

Лекция 31. Линейная транспортировка пучков. Программное управление. Задачи синтеза.

Программное управление. Рассмотрим управляемую систему

Будем считать, что элементы матриц P (t) (размерностью n n), Q(t) (размерностью n r) и компоненты вектора f(t) заданы при t 0, вещественны

инепрерывны, u r-мерный вектор управления. Пусть заданы векторы x0

иx1 начальное и конечное положение системы (1).

Управление u = u(t) будем называть программным, если решение системы (1), начинающееся при t = 0 в точке x = x0, попадает при t = T в точку x = x1 и при этом интеграл R0T u ( )u( ) d ограничен.

143

Обозначим через Y (t) фундаментальную матрицу решений уравнения

dx=dt = P (t) x

при начальном условии Y (0) = E, где E единичная матрица. Представим решение системы (1) с конечным условием x(t) = x1 по

формуле Коши:

где 1 = Y 1(T )x1 R0T Y 1( )f( ); B( ) = Y 1( )Q( ).

144

Следуя В.И.Зубову, решение уравнения (2) будем искать в виде

где c постоянный вектор, подлежащий определению, а v(t) произволь-

В.И.Зубова:

145

Теорема 1 Для того, чтобы существовало программное управление, переводящее систему (1) из любого положения в любое другое положение x0

R T

за время T , необходимо и достаточно, чтобы матрица A = 0

где B = Y 1Q, была неособой. При этом все множество программных управлений дается формулой

u = B c + v;

где v(t) суммируемая с квадратом на [0; T ] функция и

Динамика эллипсоидов. Пусть задан в пространстве Rn эллипсоид S0:

Здесь x0 центр эллипсоида, а G0 симметричная положительноопределенная матрица размерностью n n, задающая эллипсоид.

146

Пусть x(t) = x(t; x0; u) решение системы (1) с начальным условием x(0) = x0 при управлении u = u(t). Очевидно, что любое другое решение x(t) = x(t; x0; u) системы (1) представимо в виде

Сдвиг эллипсоида (5) вдоль решений (6) есть также эллипсоид с центром в точке x(t):

где G(t) = (Y 1(t)) G0Y 1(t). При этом

147

Из матричного уравнения (8) следует в частности, что программное управление u = u(t) в системе (1) не влияет на матрицу G(t), определяющую в каждый момент t эллипсоид (7). Программным управлением можно изменять только положение центра эллипсоида, выбирая нужный закон изменения траектории x(t).

Синтез управления. Пусть заданы множества M0 и M1. Требуется построить управление

так, чтобы оно переводило за время T все траектории, начинающиеся в множестве M0, в множество M1. Относительно такого управления будем говорить, что оно осуществляет транспортировку пучка траекторий из множества M0 в множество M1.

В работе В.И. Зубова дано построение таких управлений. Оно основано на решении задачи транспортировки n-мерного симплекса, включающего множество M0 в другой n-мерный симплекс, содержащий множество M1.

148

Следуя указанной работе, осуществим построение управления вида (10), обеспечивающего транспортировку пучка траекторий из множества M0 в множество M1. Предположим, что эллипсоид (5) охватывает множество M0. Рассмотрим эллипсоид S1:

с центром в точке x1, задаваемый симметричной положительно-определенной матрицей G1 и лежащий в множестве M1. Если мы решим задачу транспортировки эллипсоида (5) в эллипсоид (11), то очевидно, что будет решена и исходная задача транспортировки множества M0 в множество M1.

Пусть S неособая матрица, определяющая преобразование эллипсоида (5) в эллипсоид (11): x = x1 + S(x0 x0). Столбцы матрицы S обозначим через S(j), j = 1; n. Построим программное управление u0(t), переводящее точку x0 в точку x1. Обозначим соответствующую этому управлению траекторию x0(t), при этом x0(0) = x0, x0(T ) = x1.

149

Построим также программные управления u(j) = u(j)(t), которым соответствуют траектории x(j)(t), удовлетворяющие условиям

где ej = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) единичный орт.

Указанные программные управления вида u(j) = B (t)c(j) + v существу-

150

Построим матрицы

F (t) = x(1)(t) x(0)(t); x(2)(t) x(0)(t); : : : ; x(n)(t) x(0)(t) ;

U(T ) = u(1)(t) u(0)(t); u(2)(t) u(0)(t); : : : ; u(n)(t) u(0)(t) :

Из построения матриц F и U видно, что

Предположим, что F (t) неособая матрица при t 2 [0; T ]. Тогда, если в управлении (10) положим M = UF 1, а N = u(0) Mx(0), то эллипс (5) в силу системы (1) при данном управлении перейдет в момент T в эллипс (11). Исследуем вопрос о существовании обратной матрицы F 1(t), t 2 [0; T ]. Умножая (13) на Y 1 и интегрируя в пределах от 0 до t, получаем равенство

151

Интегрируя слева по частям и пользуясь соотношением dY 1=dt = Y 1P , из равенства (14) найдем

Z t

Y 1(t)F (t) = F (0) + Y 1QUd : (15)

0

Учитывая, что u(j) = B c(j) + v, выпишем j-й столбец подынтегральной матрицы в равенстве (15):

fY 1QUgj = Y 1QB (c(j) c(0)); j = 1; n;

отсюда

Z t

A(t) = BB d :

0

152