ТУ - лекции Овсянникова / 27.Методы спуска

Лекция 27. Методы спуска на основе первой вариации функционала.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

Здесь, как и ранее, u 2 D, D класс кусочно-непрерывных на T0, векторфункций, u(t) 2 U, t 2 T0 = [t0; T ], t0; T фиксированы.

Сформулируем следующие условия на параметры задачи (1), (2).

А. Вектор-функция f(t; x; u) и функция '(t; x; u) определены и непрерывны по совокупности своих аргументов на T0 U вместе с частными производными @f=@x, @'=@x; функция g(x) непрерывна в множестве и имеет непрерывную производную @g=@x; множество U компактно в пространстве Rr; область в Rn.

99

Б. Дополнительно к условиям A предположим, что существует и непрерывна производная @f=@u; U выпуклое множество.

Для функционала (2) было получено следующее представление приращения:

100

При этом в случае игольчатой вариации u = u", а в случае классической вариации u = " u. При этом величина имеет порядок ".

Будем говорить, что функция !( ) является строго положительной при> 0, если

!( ) = inff!( ) : g > 0; > 0:

Предполагаем далее, что при всяком допустимом управлении u = u(t) и допустимой вариации u = u(t) возможно построение однопараметрического семейства вариаций, обозначаемого через "u, такого, что:

а) "u является допустимой вариацией при " 2 [0; "^], "^ > 0, при этом

I(u; "u) "! (u) , " 2 [0; "^], где ! строго положительная функция, а (u) некоторый функционал на D или его подмножестве;

101

в) величина , определенная равенством (4), имеет порядок малости не меньше ", а следовательно, остаточный член o(u; ) в приращении (3) более высокого порядка малости, чем ".

Будем говорить, что управление u0 = u0(t) есть стационарное управление, если выполняется равенство (u0) = 0.

В силу доказательства необходимых условий оптимальности, оптимальные управления являются стационарными, а стационарные управления удовлетворяют необходимым условиям оптимальности.

Из равенства (3) и условий a)–в) для приращения функционала при вариации управления "u имеем

102

Будем предполагать, что величина o(u; ") имеет равномерно по u 2 D более высокий порядок малости, чем ".

Построим следующий алгоритм определения стационарных управлений. Пусть u1 = u1(t) допустимое управление. Фиксируем некоторое "^ > 0 и вычислим (u1). Допустим, что

где u вариация, на которой достигается супремум (7). По вариации u

построим однопараметрическое семейство вариаций "u "=^"= u, удовлетворяющее условиям a)–в). Очевидно, что тогда из этих условий вытекает существование " 2 [0; "^], такого, что

103

При этом из неравенства (10) следует, что

Возьмем теперь в качестве следующего управления

Учитывая (12), имеем I(u2) < I(u1).

Для управления u2 можно повторить те же построения, что и для управления u1. В случае, если (u2) = 0, полагаем u3 = u2. Следовательно, повторяя этот процесс, мы получим последовательность управлений

такую, что

104

Последовательность управлений, для которой имеют место неравенства (15), будем называть невозрастающей последовательностью для функционала (2).

Рассмотрим поведение функции (u) на этой последовательности.

Теорема 1 Пусть функционал (2) ограничен снизу и пусть построена последовательность управлений (14) по указанному ранее алгоритму. Тогда

(uj) ! 0.

j!1

Доказательство Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют0 > 0 и подпоследовательность управлений fujg последовательности (14), на которой выполняется неравенство

105

Пронумеруем эту подпоследовательность заново: считаем в дальнейшем j = 1; 2; : : :. По построению каждому управлению uj соответствует однопараметрическое семейство вариаций u"uj, удовлетворяющих условиям a)–в). Поэтому согласно (8) для приращения функционала имеем

причем, так как o(u; ") на (8) более высокого порядка малости, чем ", равномерно по управлениям u 2 D, то существует "~ 2 [0; "^], такое, что

для всякого uj из указанной подпоследовательности при " 2 [0; "~]. Выпишем с учетом неравенств (16) и (18) следующую цепочку нера-

венств:

min I(uj; "uj) min I(uj; "uj)

106

Это означает, что для произвольного j = 1; 2; : : : имеем

"~

I(uj+1) I(uj) 2!( 0);

или, суммируя по j от l до k, получаем

k"~

I(uk+1) I(u1) + 2 !( 0):

Отсюда следует, что I(uk) ! 1, но это противоречит ограниченности

k!1

снизу функционала I(u).

Замечание 1 Отметим, что при доказательстве теоремы существенно предположение о том, что величина o(u; ") из соотношения (8) имеет более высокий порядок малости, чем ", равномерно по u 2 D. Однако на самом деле используется только равномерность по управлениям из последовательности fujg.

107

Выбор вариации u,способ построения по ней однопараметрического семейства вариаций "u и алгоритм минимизации в одномерном направлении (по ") определяют тот или иной метод спуска. В каждой конкретной задаче он обусловлен, например, ресурсами ЭВМ, простотой вычислительных схем и, естественно, тем результатом, который ожидается, и за какое время.

108