ТУ - лекции Овсянникова / 20.Игольчатая вариация.Принцип максимума Понтрягина

Лекция 20. Игольчатая вариация. Принцип максимума Л.С. Понтрягина.

Преобразование приращения функционала.

Рассмотрим управляемую систему

Рассотрим приращение функционала (1) при приращении управ-

28

Используя разложение функции g(x(T )) в ряд по x, перепишем выражение (2) в виде

I(u~) I(u) = g(x~(T )) g(x(T )) = @g(x(T )) x(T )+o(k x(T )k): (3)

@x

Переходя от приращения к вариации, запишем линейную часть

(3)

Преобразуем (4). Для этого рассмотрим уравнение в вариациях

x(0) = 0:

29

30

31

При этом, функция H в переменных (x; ) будет удовлетворять

32

Принцип максимума.

Теорема 1 Пусть u0 = u0(t) – оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (1), а функция 0(t) удовлетворяет на оптимальном процессе уравнениям (6), (7). Тогда при почти всех t 2 [0; T ] (кроме разве что точек разрыва управления u0(t)) выполняется следующее условие максимума:

где x0(t) – траектория, соответсвующая u0(t), U – компакт, множество значений управлений.

33

Доказательство Предположим, что при некотором t 2 [0; T ], не являющемся точкой разрыва управления u0(t), существует u, такое, что H(t; x0(t); 0(t); u) > H(t; x0(t); 0(t); u0(t)).

Построим тогда в точке t игольчатую вариаию управления u0(t):

Здесь положительное вещественное число. Тогда при достаточно малом из представления (11) следует

I = 2 uH(t) + o( ):

I = I + o( ) = 2 uH(t) + o( ):

Так как, по нашему предположению uH(t) > 0, то

I < 0:

34

Следовательно, I(u) < I(u0), управление u0 не оптимальное, что противоречит условию теоремы.

Замечание 1 Очевидно, что максимум достигается и в точках разрыва управления, только в данном случае необходимо иметь в виду односторонние пределы.

Замечание 2 Пусть функция f(t; x; u) непрерывно диффернцируема по u и максимум по u достигается во внутренних точках U. Тогда из условия (12) следует

35