ТУ - лекции Овсянникова / 17.Постановка задачи оптимального управления.Принцип максимума

Лекция 17. Постановка задачи оптимального управления. Задачи Майера, Лагранжа, Больца. Связь между ними. Формулировка принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Здесь x – n-мерный вектор фазовых координат; t – время, t 2 [0; T ];

u – r-мерный вектор управления; f(t; x(t); u(t)) – n-мерная вектор-функция; предполагаем, что f(t; x(t); u(t)) непрерывна на [0; T ] U и имеет частные производные по u, где – открытое множество в Rn.

Рассмотрим класс D кусочно-непрерывных на [0; T ] вектор-функций u(t) со значениями в U, где U – компакт в Rr.

1

Дополнительно будем продполагать, что 8u 2 D (при любом допустимом управлении) решение задачи Коши для системы (1) при начальном условии (2) существует и единственно на всем интервале [0; T ].

Введем функционал

Задача минимизации функционала (3) на решениях (1) называется терминальной или задачей Майера.

Введем функционал

Z T

0

Здесь ' непрерывна по совокуности аргументов, ' > 0. Задача минимизации функционала (4) на решениях (1) называется задачей Лагранжа.

Задача же минимизации функционала вида

Z T

0

2

называется задачей Больца.

Все поставленные задачи в сущности эквивалентны, что можно показать соответствующим преобразованием переменных.

Сведем, например, задачу Лагранжа к задаче Майера. Введем помимо n фазовых переменных дополнительную xn+1, удовлетворяющую уравнению xn+1 = '(t; x(t); u(t)) с начальным условием xn+1(0) = 0. Тогда функционал (4) будет эквивалентен терминальному функционалу I(u) = xn+1(T ).

Задачу Больца можно свести к задаче Лагранжа, введя дополнительную переменную xn+1, удовлетворяющую уравнению xn+1 = 0 с начальным

условием xn+1(0) = T1 g(x(T )). Тогда функционал (5) будет эквивалентен

интегральному функционалу I(u) = R0T ('(t; x(t); u(t)) + xn+1(t))dt.

Выбор функций в функционалах (3)-(5) зависит от требований к моделируемому процессу. Например функционалы вида I(u) = (x(T ) x)2 и I(u) = R0T (x(T ) x(t))2dt оценивают отклонение траектории от некоторой заданной точки x на выходе и от заданной траектории x(t) соответственно. Задача об оптимальном быстродействии и задача терминального управления являются хорошо известными примерами задачи Майера.

3

Формулировка принципа максимума.

Теорема 1 Пусть u0 = u0(t) – оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (3), а функция 0(t) удовлетворяет на оптимальном процессе уравнениям

Тогда при почти всех t 2 [0; T ] (кроме разве что точек разрыва управления u0(t)) выполняется следующее условие максимума:

u0(t), U – компакт, множество значений управлений.

4