ТУ - лекции Овсянникова / 21.Линеаризованный принцип максимума
.pdf
Лекция 21. Линеаризованный принцип максимума в задаче оптимального управления.
Рассмотрим управляемую систему |
|
x = f(t; x; u); |
|
t 2 [0; T ]; x(0) = x0; u 2 D |
|
и функционал |
(1) |
I(u) = g(x(T )): |
|
Предполагаем здесь существование непрерывных производных @f , |
|
@u D – выпуклое множество: u1 2 D; u2 2 D ! u = u1 + (u2 u1) 2 D;
8 2 [0; 1].
36
Рассмотрим приращение функционала (1) при приращении управления u~ = u + u
I(u) = I(u~) I(u) = I(u; u) + o(k ukL); |
(2) |
|
Из формулы (10) лекции 20 |
|
|
I(u) = Z0 T |
(t) uf(t; x; u)dt: |
|
Пусть u = u1 + (u2 u1) = u1 + u. Тогда uf(t; x; u) = f(t; x; u1 +
(u2 u1)) f(t; x; u1) = |
@f(t; x; u1) |
u1) + o( ) |
|||||
|
|
|
(u2 |
||||
@u |
|
||||||
В таком случае, вариация функционала перепишется в виде |
|||||||
T |
(t)@f( @u |
1 |
|
(u2 u1) dt + o( ): |
|||
I(u) = Z0 |
) |
||||||
|
|
|
t; x; u |
|
|||
37
Введем вектор-функцию |
|
|
|
l (t; u) = (t) |
@f(t; x; u1) |
|
|
|
: |
|
|
|
|
||
|
@u |
|
|
Теперь приращение функционала (1) можно записать в виде |
|
||
I(u) = Z0 T l (t; u) udt + o( ): |
(3) |
||
Введем функционал |
|
|
|
Z T
hG(u); ui = l (t; u) udt:
0
Теорема 1 Для того, чтобы управление u0 было оптимально, необходимо, чтобы
maxhG(u0); u u0i = 0:
u2D
38
Доказательство. Из (3) приращение функционала можно записать как
I(u0) = hG(u0); ui + o( ):
Так как на оптимальном управлении I(u0) 0, то
maxhG(u0); ui 0
u2D
При этом на оптимальном управлении hG(u0); u0 u0i = 0 что и показывает справедливость доказываемого равенства. 
Замечание 1 Из хода доказательства ясно, что при любом u 2 D и произвольной допустимой вариации u имеет место представление
~
I(u + u) I(u) = G(u); u + o( );
~ ~
где G(u) = G(u). В этом случае говорят, что функционал G(u) является слабой производной Гато функционала I(u).
В дальнейшем такое представление приращения функционала будет использовано при построении численных методов оптимизации.
39