ТУ - лекции Овсянникова / 28.Градиентный метод оптимизации

Лекция 28. Градиентный метод оптимизации.

Исследуем задачу минимизации (1)-(2) лекции 27. При этом будем предполагать, что управление u = u(t) 2 D L22(0; T ), u(t) 2 U, t 2 [0; T ],

U выпуклое компактное множество в пространстве Rr. Будем также считать, что выполнены условия A, Б лекции 27.

Пусть u 2 D и u = u(t) допустимая вариация управления u. Рассмотрим управление u~ = u + " u. В силу выпуклости множества U управление u~ 2 D при " 2 [0; 1]. Для приращения функционала в данном случае имеем

109

при конечном условии

Функционал G(u), определяемый в (2), и вектор-функцию l(t; u) называют градиентом функционала I(u). Вектор-функцию l(t; u) будем называть антиградиентом функционала I(u). Формулы (1)–(4) позволяют строить различные градиентные методы минимизации в рассматриваемой задаче.

110

Построим невозрастающую последовательность управлений (1)–(4) с учетом определения (7) для (u). Пусть uk 2 D и uk определяются из условия

111

Отметим, что существуют разные способы выбора величины "k. Так, например, возможно априорное задание величины "k

Построение последовательности приближений по правилу (8)–(10) называют методом условного градиента.

Рассмотрим теперь метод проекции градиента. Пусть H гильбертово пространство. Под проекцией точки u 2 H на множество V 2 H понимается точка w 2 H, такая, что

ku wkH = inf ku wkH:

v2V

Если V выпуклое замкнутое множество в H, то всякая точка u 2 H имеет единственную проекцию на это множество.

112

Пусть uk 2 D, а

есть проекция антиградиента l(t; uk) на D. Заменив в формуле (9) uk на (11), получим последовательность управлений fukg, соответствующую методу проекции градиента. Величина "k, как и в предыдущем случае, может выбираться разными способами.

Этот метод удобен, когда имеется явная формула для проекции градиентна (антиградиента). Так, в задачах управления ограничения на множество U часто имеют вид

В этом случае

113

Отметим, что в рассмотренных случаях построено однопараметрическое семейство вариаций "u = " uk,удовлетворяющее условиям a)–в) из предыдущей лекции. При этом в последнем случае в качестве функционала(u) следует взять

Z T

(u) = l (t; u)PD l(t; u) dt; (14)

0

а функцию !( ) следует положить равной в обоих случаях. Поведение функционала (uk) при k ! 1 определяется теоремой 1 лекции 27.

Возможны, как уже говорилось, и другие методы построения минимизирующей последовательности на основе градиента. Так, полезными и эффективными в задачах управления оказываются овражные методики и методы, использующие специальные весовые функции.

Таким образом, общие схемы построения минимизирующих последовательностей на основе градиента для задач управления сохраняются.

114