ТУ - лекции Овсянникова / 30.Управление пучком траекторий

Лекция 30. Управление пучком траекторий.

Пучок траекторий. Рассмотрим динамический управляемый процесс, описываемый системой дифференциальных уравнений

где t независимая переменная, называемая в дальнейшем временем;

x n-мерный вектор фазовых координат x1; x2; : : : ; xn; u = u(t) r-мерная вектор-функция на интервале T0 = [t0; T ] R1, параметры t0; T фиксированы; f(t; x; u) n-мерная вектор-функция. Предполагаем, что f(t; x; u) определена и вместе с частными производными @f=@x, @divxf=@x

(divxf = Pni=1 @fi=@xi) непрерывна по переменным x; u и кусочнонеперерывна по t на T0 U, где открытое множество в Rn,

U ограниченное и замкнутое множество (компакт) в пространстве Rr. Под кусочно-непрерывными функциями будем понимать функции, име-

ющие лишь конечное число разрывов первого рода.

125

Считаем, что управления u = u(t) (допустимые управления) составляют класс D векторных кусочно-непрерывных на интервале T0 функций со значениями в U , т.е. u(t) 2 U при 8t 2 T0. При сделанных предположениях для любой точки (t; x) 2 T0 существует единственное решение задачи Коши системы (1) с начальным условием x(t) = x при произвольном допустимом управлении.

Пусть M0 открытое ограниченное множество, содержащееся в , а M0 его замыкание. Будем предполагать, что при любом управлении u 2 D решение

такое, что x = x0 при t = t0, определено на всем интервале T0 при любом

x0 2 M0.

Таким образом, каждому управлению u = u(t) можно сопоставить согласно системе (1) семейство траекторий x(t) = x(t; x0; u), отвечающих различным начальным условиям x(t0) = x0; x0 2 M0.

126

Это семейство траекторий, исходящих из множества M0 (или из M0), будем называть пучком траекторий, соответствующих управлению u = u(t), или просто пучком.

Пусть Mt;u образ множества M0 в силу системы (1) при управлении u = u(t) в момент t, т.е.

Mt;u = fxt = x(t; x0; u) : x0 2 M0g:

Множество Mt;u и соответственно множество Mt;u для пучка траекторий, исходящего из M0, будем называть сечением пучка траекторий, соответ-

ствующих управлению u = u(t) в момент t. Сечения Mt;u, t 2 T0, являются компактными множествами. Действительно, при сделанных предположениях решения системы (1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по начальным данным. Поэтому преобразование множества M0 в множество

Mt;u, определяемое траекториями (1), является непрерывным, более того, непрерывно дифференцируемым. Следовательно, из компактности множества M0 вытекает компактность множества Mt;u.

127

При этом граница @M0 множества M0 переходит в границу @Mt;u множества Mt;u. Положительность меры сечения Mt;u следует из положительности меры множества M0 и равенств

ZZ

где det(@x(t; x0; u)=@x0) якобиан указанного преобразования, представимый по формуле Лиувилля в виде

Здесь Sp(@f=@x) след матрицы Якоби, при этом Sp(@f=@x) = divxf. Под мерой множества M 2 Rn подразумевается его лебегова мера mes(M).

128

Уравнение переноса. Рассмотрим уравнение (2). При t = t0 имеем x = x0 и якобиан det (@x(t; x0; u)=@x0) = 1. Следовательно, по теореме о неявных функциях уравнение (2) определяет неявную n-вектор-функцию:

Функции qi(t; x; u), i = 1; n, являются первыми интегралами системы (1), непрерывно дифференцируемыми по t и x в некоторой окрестности точки

(t0; x0).

Множество T0;u 2 T0 мы определили следующим образом:

T0;u = f(t; x) : t 2 T0; x 2 Mt;ug:

Предположим, что при 8u 2 D вектор-функция q(t; x; u) определена при всех (t; x) 2 T0;u и вместе с производными по t и x непрерывна по перемен-

ной x и кусочно-непрерывна по t. Фиксируем некоторую точку (t; x) 2 T0;u.

129

Множество точек x0 таких, что траектории (2), исходящие при t = t0 из точек x0, в момент t = t t0 попадает в некоторую "-окрестность S"(x) точки x. Обозначим это множество точек через

G = fx0 : x(t; x0; u) 2 S"(x); x0 2 M0g:

Введем функцию

Z

m(t; x; ") = mes(S"(x)) 1 0(x0)dx0; (4)

G

где mes(S"(x)) мера (объем) окрестности S"(x); 0(x) 2 C1(M0) неотрицательная функция. Будем считать, что функция 0(x) есть плотность распределения частиц (массы, заряда) в пространстве M0 в момент t0. Тогда под плотностью распределения частиц в точке x 2 Mt;u в момент t будем понимать предел

"!0

130

Так определенную на T0;u функцию (t; x) будем называть плотностью распределения (частиц) в силу системы (1). При этом, как мы видим, функция (t; x) определяется системой (1) при заданной начальной плотности распределения (t0; x) = 0(x). Не исключается случай M0 = = Rn. Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция (t; x). С этой целью сделаем в интеграле (4) замену переменных по формуле (3). Подставив полученное выражение в (5), получим

131

Перейдем в (6) к пределу. Учитывая произвольность выбора точки

(t; x) 2 T0;u и обозначая ее в дальнейшем через (t; x), получаем 8x0 2 M0:

Дифференцируя (8) по t вдоль траекторий (2), т.е. в силу системы (1), при-

132

Рассмотрим произвольную область Gt0 M0, в частности возможен случай Gt0 = M0. Пусть Gt;u есть образ множества Gt0 в момент t в силу

R

системы (1). Рассмотрим интеграл Gt;u (t; xt)dxt и вычислим его производ-

1Уравнение (10) называют также обобщенным уравнением Лиувилля или уравнением Лиувилля [?], когда система (1) выписана в канонических сопряженных переменных, при этом divxf(t; x; u) = 0.

133

ную по t. Используя равенства (8), (9), находим

откуда следует

Z Z

(t; xt)dxt = 0(x0)dx0; t 2 T0: (12)

Gt;u Gt0

Определение 1 Будем говорить, что система (1) имеет интегральный инвариант порядка n при управлении u = u(t), если для некоторой неотрицательной скалярной функции (t; x) 2 C1( T0;u) выполняется равенство (12) для любой области Gt0 M0.

Итак, если (t; x) есть неотрицательное решение уравнения (10), то система (1) имеет интегральный инвариант порядка n (функцию (t; x) называют ядром или плотностью интегрального инварианта ).

134