Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТУ - лекции Овсянникова / 19.Исследование приращения функционала

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
154.37 Кб
Скачать

Лекция 19. Исследование приращения

функционала и его вариация.

Полное приращение функционала. Рассмотрим систему (1) лекции 18 и функционал

Z T

I(u) = '(t; xt)dt + g(xT ); (1)

0

заданный на траекториях этой системы. Относительно функций '(t; x) и g(x) предполагаем, что они определены и непрерывны вместе со своими производными по x на T0 (T0 = [0; T ]) и соответственно в Rn. Исследуем задачу минимизации функционала (1) по управлениям u 2 D.

20

Выпишем полное приращение функционала (1) при некотором управлении u = u(t) и допустимой вариации этого управления u(t). Пусть u~ = u(t) + u(t), тогда

Z T Z T

I(u; u) = I(u~) I(u) = '(t; x~t)dt + g(x~T ) '(t; xt)dt g(xT ):

0 0

Выделим линейную часть в функциях

'(t; x~(xt)) = '(t; xt + x(t; xt)) =

 

 

@'(t; xt)

(2)

= '(t; xt) +

 

 

 

x(t; xt) + o(k x(t; xt)k);

 

@x

g(x~(xT )) = g(xT + x(T; xT )) =

@g(xT )

(3)

= g(xT ) +

 

 

x(T; xT ) + o(k x(T; xT )k):

 

@x

Здесь o('; k x(t; xt)k) и o(g; k x(T; xT )k) величины более высокого порядка малости, чем k xk.

21

Тогда приращение функционала преобразуется к виду

I(u; u) = Z0

T

@'@x

t x(t; xt) + o(k x(t; xt)k) dt+

(4)

 

 

 

(t; x )

 

 

 

 

 

+

@g(xT )

x(T; xT ) + o(k x(T; xT )k);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

Таким образом, в выражении (4) выделим линейную часть по x, которую в дальнейшем будем называть первой вариацией функционала и обозначать I(u; u):

I(u; u) = Z0

T

@'@x

t

xdt +

@xT

)

x(T ):

(5)

 

 

(t; x )

 

@g(x

 

 

22

Вариация функционала. Введем в рассмотрение вектор-функцию(t; x), которая удовлетворяет на траекториях системы x = f(t; x; u); дифференциальному уравнению

 

 

d

@

 

 

 

 

@'(t; x)

 

 

 

 

 

 

 

=

 

f(t; x; u) +

 

 

 

 

(6)

 

 

 

dt

@x

 

 

@x

при конечном условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(T; x(T )) =

x(T ))

 

 

 

 

 

 

 

 

@g(

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

Учитывая уравнение в вариациях

 

 

 

 

 

 

 

 

dt =

 

 

@x

 

x + uf t; x(t; x0; u); u(t) ;

 

d x

@f t; x(t; x0; u); u(t)

 

 

 

 

 

 

выпишем очевидное равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

@x x uf

= 0;

 

(8)

 

 

 

 

 

 

d x

@f

 

 

 

 

 

 

 

23

Преобразуем вариацию функционала (5) с использованием вспомогательной функциии , введенной соотношениями (6)–(7). Проинтегрируем уравнение (8) от 0 до T , применяя обычный прием введения множителей Лагранжа при преобразовании вариаций функционала; прибавим полученные выражения к правой части равенства (5). После преобразований получим

I(u; u) =

0

T

uf + _

+ @x @x xdt+

 

Z

 

 

 

 

 

 

@f @'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(T; xT ) +

@g@xT

)

 

 

 

 

 

 

+

x(T; xT ):

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

Отсюда на основании равенств (6)–(7) находим

Z T

I(u; u) = (t; xt) uf(t; xt; u(t))dt:

0

(9)

(10)

24

Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Введем функцию H, зависящую от переменных t, x1; : : : ; xn, u1; : : : ; ur и вспомогательных переменных 1, : : :, n,:

n

X

(11)

H(t; x; ; u) = i(t; x)fi(t; x; u);

i=1

или кратко H = f.

Теорема 1 Пусть u0 = u0(t) оптимальное управление, а векторфункция 0(t; x) удовлетворяют на оптимальном процессе уравнениям (6)–(7). Тогда при почти всех t 2 [0; T ] (кроме разве что точек разрыва управления u0(t)) выполняется следующее условие максимума:

u2U

 

 

 

 

maxH t; x0(t); 0(t; x0(t)); u

 

=H

t; x0(t); 0(t; x0(t)); u0(t) :

(12)

25

Доказательство Введем следующее обозначение:

h(t; u) = H t; xt; 0(t; xt); u dxt:

Предположим, что при некотором t 2 [0; T ],не являющемся точкой разрыва управления u0(t), существует u,такое, что h(t; u) > h(t; u0(t)). Построим тогдав точке t игольчатую вариаию управления u0(t):

 

 

u0(t); t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0; T ]

[

t

;

t

+ );

 

u (t) =

u

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

t = [t

 

; t + ):

 

 

 

 

2

 

 

 

 

T

 

Здесь положительное вещественное число.

26

Тогда при достаточно малом из представления (10) следует

 

I(u0; u ) = h(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ! + o( );

(14)

 

t; u0(t)) h(t;

 

где

u

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

t = 0 t = T:

 

 

! =

2;

 

t

2 (0; T )

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим h(t; u) h(t; u0(t)) = h,причем по предположению

h > 0. Выберем достаточно малым так, чтобы выполнялись неравенства o( ) < h =4,o( ) < h =4.Тогда из равенств (4) и (14) получаем

I(u0; u ) = h! + o( ) + o( ) < h(! 1=2) < 0; (15)

что противоречит оптимальности управления u0(t).

27

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.