ТУ - лекции Овсянникова / 19.Исследование приращения функционала

Лекция 19. Исследование приращения

функционала и его вариация.

Полное приращение функционала. Рассмотрим систему (1) лекции 18 и функционал

Z T

I(u) = '(t; xt)dt + g(xT ); (1)

0

заданный на траекториях этой системы. Относительно функций '(t; x) и g(x) предполагаем, что они определены и непрерывны вместе со своими производными по x на T0 (T0 = [0; T ]) и соответственно в Rn. Исследуем задачу минимизации функционала (1) по управлениям u 2 D.

20

Выпишем полное приращение функционала (1) при некотором управлении u = u(t) и допустимой вариации этого управления u(t). Пусть u~ = u(t) + u(t), тогда

Z T Z T

I(u; u) = I(u~) I(u) = '(t; x~t)dt + g(x~T ) '(t; xt)dt g(xT ):

0 0

Выделим линейную часть в функциях

'(t; x~(xt)) = '(t; xt + x(t; xt)) =

Здесь o('; k x(t; xt)k) и o(g; k x(T; xT )k) величины более высокого порядка малости, чем k xk.

21

Тогда приращение функционала преобразуется к виду

Таким образом, в выражении (4) выделим линейную часть по x, которую в дальнейшем будем называть первой вариацией функционала и обозначать I(u; u):

22

Вариация функционала. Введем в рассмотрение вектор-функцию(t; x), которая удовлетворяет на траекториях системы x = f(t; x; u); дифференциальному уравнению

23

Преобразуем вариацию функционала (5) с использованием вспомогательной функциии , введенной соотношениями (6)–(7). Проинтегрируем уравнение (8) от 0 до T , применяя обычный прием введения множителей Лагранжа при преобразовании вариаций функционала; прибавим полученные выражения к правой части равенства (5). После преобразований получим

24

Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Введем функцию H, зависящую от переменных t, x1; : : : ; xn, u1; : : : ; ur и вспомогательных переменных 1, : : :, n,:

n

i=1

или кратко H = f.

Теорема 1 Пусть u0 = u0(t) оптимальное управление, а векторфункция 0(t; x) удовлетворяют на оптимальном процессе уравнениям (6)–(7). Тогда при почти всех t 2 [0; T ] (кроме разве что точек разрыва управления u0(t)) выполняется следующее условие максимума:

(12)

25

Доказательство Введем следующее обозначение:

h(t; u) = H t; xt; 0(t; xt); u dxt:

Предположим, что при некотором t 2 [0; T ],не являющемся точкой разрыва управления u0(t), существует u,такое, что h(t; u) > h(t; u0(t)). Построим тогдав точке t игольчатую вариаию управления u0(t):

Здесь положительное вещественное число.

26

Тогда при достаточно малом из представления (10) следует

Обозначим h(t; u) h(t; u0(t)) = h,причем по предположению

h > 0. Выберем достаточно малым так, чтобы выполнялись неравенства o( ) < h =4,o( ) < h =4.Тогда из равенств (4) и (14) получаем

I(u0; u ) = h! + o( ) + o( ) < h(! 1=2) < 0; (15)

что противоречит оптимальности управления u0(t).

27