ТУ - лекции Овсянникова / 18.Лемма о приращении.Ур-е в вариациях

Лекция 18. Леммы о приращении траектории. Уравнение в вариациях и лемма о норме разности приращения траектории и ее вариации.

Предполагаем, что для системы определены и непрерывны производные @f=@x. Управления u = u(t) рассматриваем из класса D кусочно-непрерывных на интервале T0 вектор-функций со значениями в компакте U. Считаем, что решения системы (1) задачи Коши с начальными условиями x(t0) = x0 определены на T0 при произвольном допустимом управлении и любом x0.

6

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с непрерывной зависимостью траекторий от управляющих функций. Далее в формулировках лемм будем опускать предположения относительно системы (1), считая, что они выполняются.

Пусть A(t; x; u) матрица размерностью n k, непрерывная по совокупности аргументов (t; x; u) 2 T0 U.

Лемма 1 Пусть u = u(t) допустимое управление и

x(t) = x(t; x0; u) соответствующая ему траектория системы (1), исходящая из точки x0. Тогда

7

Доказательство Утверждение леммы (1) означает, что для любого " > 0 можно указать > 0 , такое, что при

k ukL = R T j u(t)jdt < выполняется неравенство

t0

Z t

t0

равномерно по t 2 T0.

Фиксируем " > 0. В силу непрерывности матрицы A(t; x; u) по совокупности аргументов (t; x; u), а также непрерывной зависимости решений (1) от начальных данных и компактности множеств T0; U по "1 = "=(2T ) можно выбрать 1 так, чтобы при всех t 2 T0 имело место неравенство

как только j u(t)j < 1.

8

Введем множество !( 1) = ft : j u(t)j 1g. Покажем, что при фиксированном 1 мера множества !( 1) будет сколь угодно мала при достаточно малой в интегральном смысле вариации управления, т.е. при достаточно малой k ukL. Действительно, при k ukL < имеем

9

Выбор такого K возможен по теореме Вейерштрасса в силу непрерывности матрицы A(t; x(t; x0; u); v) на компактном множестве

T0 U.

Пусть = " 1=(2K), где 1 выбрано из условия справедливости неравенства (4). С учетом оценок (4)–(6) имеем

Z

+uA(t; x(t); u(t)) dt < T "1 + mes(!( 1))K < ";

!( 1)

что и означает выполнение неравенства (3) при 8t 2 T0:

10

В дальнейшем используется следующая лемма Гронуолла:

Лемма 2 Пусть скалярная непрерывная функция r(t), заданная на T0, удовлетворяет неравенству

где 0; 0 L > 0 постоянные. Тогда имеет место неравенство

умножая последнее неравенство на exp( L(t t0)):

(R exp( L(t t0)))0 [ + (t t0)] exp( L(t t0)):

11

Аналогичное неравенство можно вывести при t t0. Проинтегрируем эти неравенства от t0 до t и умножим каждое

на exp(Ljt t0j). В результате получим

Из неравенства (7) следует r(t) + jt t0j+LR(t). Подставляя сюда предыдущее неравенство, получаем (8).

Пусть u(t) и u~(t) допустимые управления. Рассмотрим соответствующие им траектории системы (1) с одинаковыми начальными условиями x(t) = x(t; x0; u); x~(t) = x(t; x0; u~). Приращение траектории x(t; x0; u) при вариации u = u~ u будем обозначать как

или

x(t) = x~(t) x(t):

12

Выпишем дифференциальные уравнение для приращения x(t). Для этого продифференцируем по t равенство (9):

где

xf(t; x(t); u+ u) = f(t; x(t)+ x(t); u(t)+ u(t)) f(t; x(t); u(t)+ u(t));

uf(t; x(t); u(t)) = f(t; x(t); u(t) + u(t)) f(t; x(t); u(t)):

Сформулируем лемму о непрерывной зависимости решений системы (1) от управления:

13

Лемма 3 Пусть u = u(t) допустимое управление и

x(t) = x(t; x0; u) соответствующая ему траектория с началь-

Доказательство Соотношение (12) означает, что для каждого " > 0 найдется > 0, такое, что при k ukL < выполняется неравенство k xkC < ". Фиксируем " > 0. Из непрерывности f(t; x; u) и компактности U следует существование 1, такого, что jx(t; x0; u~) x(t; x0; u)j < " при t 2 [t0; 1] и произвольном управлении u~ 2 D. Рассмотрим множество

Q"u = (t; y; v) : t 2 T0; jy x(t; x0; u)j "; v 2 U :

14

В силу непрерывности @f=@x найдется l1, такое, что

Допустим, что ни при каком сколь угодно малом > 0 и фиксированном x(t0) = x0 неравенство k xkC < " не выполняется. Будем считать далее, что в соответствии с леммой 1. выбрано так, что при k ukL <

= t : t 2 T0; jx(t; x0; u~) x(t; x0; u)j = " ;

где ku~ ukL < ; u~ 2 D. По предположению множество непусто.

15