ТУ - лекции Овсянникова / 18.Лемма о приращении.Ур-е в вариациях
.pdf
Пусть t = inf . Очевидно, что t 1 > t0. Заменим компоненты векторной разности xf в уравнении (11) по формуле Лагранжа:
|
@fi(t; x(t) + i x(t); u(t) + u(t)) |
|
|
|
|
|
|||
xfi = |
|
x(t); i = 1; n: |
||
|
||||
|
@x |
|||
(13) Интегрируя полученное уравнение и оценивая приращение x по норме с учетом приведенных оценок, получаем
Z t
j x(t)j l1j x( )jd +
t0
или по лемме Гронуолла
j x(t)j exp(l1(T t0)) < "=2; t 2 [t0; t]; (14)
откуда следует, что при t = T множество пусто.
16
При t < T можно показать, что существует достаточно малое2 > 0, такое, что для t 2 [t0; t + 2] выполняется неравенство j x(t)j < " при k ukL < , а это противоречит определению t.
Таким образом, при фиксированном x0 для произвольного
" > 0 можно выбрать (x0) > 0, при котором имеет место оценка k xkC < ". Из непрерывной зависимости решений от начальных данных следует возможность выбора указанного независимо от x0. 
17
Замечание 1 Из оценки (14), в частности, следует, что k xkC C1 k ufkL при k ukL ! 0. Здесь C1 > 0 постоянная и
k ufkL = |
Zt0T uf |
t; x(t); u(t) dt: |
|
|
|
Рассмотрим уравнение
dt = |
|
@x |
|
d x |
@f t; x(t; x0; u); u(t) |
|
|
x + uf t; x(t; x0; u); u(t) |
(15) |
с начальным условием x(0) = 0. Уравнение (15) называют уравнением в вариациях, а векторную функцию x(t) = x(t; x0; u) вариацией траектории x(t; x0; u) при вариации управления
u = u~ u. Из уравнения (15) и лемм 1 и 2 следует
k x(t; x0; u)kC ! 0:
k ukL!0
18
Лемма 4 Пусть u 2 D. Тогда при k ukL ! 0, имеет место соотношение
k x(t; x0; u) x(t; x0; u)kC = o(k xkC)
Доказательство Доказательство леммы строится на основе рассмотрения разности уравнений (11) и (15) и проведения соответстующих оценок с учетом леммы 2. При этом учитывается, что утверждение леммы означает следующее: для каждого " > 0 можно указать > 0, такое, что при всех допустимых вариациях, таких, что k ukL < , будет справедливо неравенство k x xkC < "k xkC 
19