ТУ - лекции Овсянникова / 22.Вариационное исчисление.Условие сильного минимума
.pdfЗдесь
n |
@F (x; y; u) |
|
X |
||
|
||
E(x; y; z; u) = F (x; y; z) F (x; y; u) (zi ui) |
|
|
@ui |
||
i=1 |
|
есть функция Вейерштрасса.
В предыдущем пункте было установлено, что n+1 1. Таким образом, необходимым условием сильного минимума, как это и было установлено в вараиционном исчислении, является неотрицательность функции Вейерштрасса, т.е.
E(x; y(x); u(x); z) 0; 8z 2 U: |
(15) |
50
Условие Лежандра.
Рассмотри для простоты случай n = 1: Имеем
F (x; y; z) F (x; y; u) = @F@u (z u) + @2F (x; y; u + (z u))(z u)2:
Здесь остаточный член в разложении функции F (x; y; z) выписан в форме Лагранжа, 0 < < 1. Если перенести первое слагаемое из правой части в левую, то мы получим функцию Вейерштрасса
E(x; y; u; z) = @2F (x; y; u + (z u))(z u)2:
Учитывая (15), получаем условие Лежандра
@2F (x; y; )) |
0 8 2 U: |
2@u2 |
51