For Exam / Прямая и плоскость в пространстве 2

Ax By Cz D 0 -

(4.1)

общее уравнение плоскости;

A x x0 B y y0 C z z0 0 -

(4.2)

уравнение плоскости,

проходящей через точку M x0;y0;z0 ,перпендикулярно

к вектору нормали

A;B;C ;

N

0

или в скалярной форме

M0M

a

b

x x0

y y0

z z0

x1

y1

z1

0 -

(4.3)

x2

y2

z2

уравнение плоскости,

проходящей через точку M x0;y0;z0

и параллельной

векторам

x1;y1;z1 ,

x2;y2;z2 ;

a

b

x

y

z

1 -

(4.4)

a b

c

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 -

(4.5)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

уравнение плоскости, проходящей

через три точки

M1 x1;y1;z1 ,

A

x B

y C z D 0,

(4.6)

L: 1

1

1

1

A2x B2y C2z D2 0;

б) каноническими уравнениями

L:

x x0

y y0

z z0

,

(4.7)

m

l

n

x x0

tl,

tm,

(4.8)

L: y y0

tn.

z z0

sin

N,a

Am Bn Cp

,

(4.9)

N

a

A2 B2 C2

m2 n2 p2

Решение. Нормальный вектор плоскости

N (5;3; 7) можно

считать направляющим вектором прямой L

(см. рис. 17). Прямая L

5

3

7

5

3

7

Пример 4.2.

Найти точку пересечения

прямой

x 1

y 1

z

и

1

плоскости 2x 3y z 1 0.

2 6

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрической форме и

решим систему уравнений:

x t 1, y 2t 1,

z 6t,

(4.10)

z 1 0,

2x 3y

откуда 2(t 1) 3( 2t 1) 6t 1 0, t 1.

Подставив t 1 в (4.10),

получим x 1 1 2,

y -2 1-1 -3, z 6 1 6.

Таким образом, Р(2;-3;6) является искомой точкой пересечения прямой и

плоскости.

Ответ: P 2; 3;6 .

Пример 4.3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M(1;2; 3), параллельно прямым

x 1

y 1

z 7

,

x 5

y 2

z 3

.

2

3

3

3

2

1

Решение.

Искомая

плоскость параллельна

данным прямым,

следовательно, ее нормальный вектор

N

перпендикулярен направляющим

векторам

1 2; 3;3 и

2 3; 2; 1

прямых

L1 и

L2 . Поэтому можно

q

q

принять

2 , т.е.

N

q

1,q

N 2

3

3 9i 11j 5k.

Ответ: :

9x 11y 5z 16 0.

Пример 4.4 Составить уравнение плоскости , проходящей через

прямую

x 1

y 2

z 2

,

2

3

2

перпендикулярно к плоскости 3x 2y z 5 0

( 1).

Решение.

Из

условия задачи

и

рис.18

следует,

что

вектор

нормали

N

искомой

плоскости

должен быть

перпендикулярен

к

вектору

3;2; 1

N1

нормали

плоскости

1 и

направляющему

вектору

Следовательно, можно положить

i

j

k

2

3

2

N

a,

N1

i 8j

13k.

3

2

1