Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

For Exam / Несобственные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

216.84 Кб

Скачать

☆

§ 10. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении	интеграла	b	f x dx	предполагалось,	что

отрезок a,b конечен		a	f x на
	и функция			нем определена	и

ограничена.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, то есть определенный интеграл от непрерывной функции с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но подынтегральная функция не ограничена на нем (имеет на нем бесконечный разрыв).

10.1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования (несобственные интегралы I рода)

Определение 10.1.	Пусть	функция		f x	определена на
промежутке a, и интегрируема			на любом промежутке a,b ,
принадлежащем этому	промежутку.		Если	существует конечный
b
предел: lim f x dx, то этот		предел называется			несобственным
b a	f x по промежутку a,
интегралом от функции	f x по промежутку a,				и обозначается

f x dx.
a
Таким образом,
			b	f x dx.
	f x dx= lim			f x dx.	(10.1)
	a		b a

Определение 10.2. Несобственный интеграл I рода называется сходящимся, если предел конечен. Если же предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

	Пример 1.10.		dx
						.
						.
	Решение.		1		x3
	Решение.							b
dx		b dx					1			1			1		1
dx		b dx					1			1			1		1
		lim		lim					lim							.
		lim		lim					lim							.
1 x3		b 1 x3		b			2x2	1	b		2b	2		2	2
1 x3		b 1 x3					2x2	1	b		2b			2	2

Несобственный интеграл сходится.

Пример 2.10.

Решение.

lim

ln1

b 1 x

lim ln

Интеграл расходится.

Замечание 10.1. Можно показать, что интеграл

сходится

при k 1 и расходится при k 1.

1 xk

f x

Определение

10.3.

Пусть

функция

определена

на

промежутке ,b

и интегрируема

на любом промежутке a,b ,

принадлежащем этому

промежутку.

Если

существует

конечный

предел:

lim f x dx ,

то этот

предел называется

несобственным

a a

f x по промежутку ,b и обозначается

интегралом от функции

f x dx.

Имеем

f x dx= lim f x dx .

(10.2)

a a

Определение

10.4.

Если

функция

f x

определена

на

промежутке , и интегрируема на любом промежутке			a,b ,
принадлежащем этому промежутку, полагаем
	c	b
f x dx=	lim f x dx	lim f x dx.	(10.3)
	a a	b c

Иногда будем записывать:

f x dx= lim f x dx.

a a b

Замечание 10.2. В равенстве (10.3)	a		и b
неодинаково (по разным произвольным законам).

Замечание 10.3. Равенство (10.3) следует понимать в том смысле, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих в правой части равенства, сходится, то сходится и интеграл в левой части.

	Пример 3.10.		2 dx
					.

			x2
	Решение						2
2 dx		2 dx				1

		lim		lim

x2		a a x2		a		x	a

Интеграл сходится.

	1	1	1
lim				.

a 2		a	2

Пример 4.10.

Решение

1 x2

b dx

lim arctgx

= lim

lim

1 x2

a a1 x2

b 01 x2

arctgx

0 arctga lim

arctgb 0

lim

2 2


Пример 5.10.		xdx.
Решение
Решение					b
		b		x2
		b		x2
xdx	lim	xdx	lim
xdx	lim	xdx	lim	2
	a a		a	2	a
	b		b		a
	b		b

	b2		a2
lim

		2	2	.
a

Полученный предел не существует (получаем неопределенность). Интеграл расходится.

Замечание 10.4 (к примеру 5) Так как a и b неограниченно возрастают по абсолютной величине по разным законам, то будем получать различные значения предела. Например, если

a k,

b k2,

k , то

lim k

2 2

1 .

lim k

lim

2 k

Если a k2,

b k,

k , то

lim k

1 k

lim

2 k

Если a k,

b k,

k , то

lim

Пример 6.10. xcosxdx.

Решение

xcosxdx

	0
	lim xcosxdx
	a a

		u x	du dx
		dv cosxdx	v sin x

lim

xsin x

sin xdx

xsin x

cos

0 lim asina 1 lim cosa.

a a

Интеграл расходится, так как lim asina	и lim cosa не
a	a
существуют.

10.3. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II рода)

Определение			10.6.	Пусть	функция f x			определена		на
промежутке a,b , интегрируема					на	любом промежутке			a,b ,
принадлежащем промежутку a,b						0 ,	и	неограничена		в
окрестности		точки b.		Если	существует		конечный		предел
	b
lim	f x dx, то этот предел называется несобственным интегралом
0	a
		f x	на промежутке a,b					b
от функции						и обозначается f x dx.

Таким образом имеем:

f x dx= lim

f x dx.

(10.5)

Если существует конечный предел

lim

f x dx, то говорят, что

0 a

интеграл f x dx сходится, в противном случае - расходится.

f x

Определение

10.7.

Если

функция

определена

на

промежутке a,b , интегрируема на любом промежутке

a ,b ,

принадлежащем

промежутку

a,b

0 ,

неограничена

окрестности точки a, то полагаем

f x dx= lim

f x dx.

(10.6)

0 a

Определение

10.8.

Если

функция

f x

определена

на

промежутках a,c и

c,b , интегрируема на отрезках

a,c 1

c 2,b ,

принадлежащих

промежуткам

a,c

c,b

соответственно 1

0, 2

0 ,

и неограничена в окрестности точки

c, то полагаем

с 1

f x dx=

lim

f x dx

f x dx.

1 0

2 0с 2

Пример 10.10.

1 x

Решение

lim

2 lim

1 x

0 1 x

0 0

1 x

2 lim

1 2.

1 dx

	Пример 11.10.								.
	Пример 11.10.								.
	Решение						1x2
	Решение																	1					1
1 dx		lim		1 dx			lim			1 dx							1		lim			1
1 dx				1 dx						1 dx							1					1
														lim									.
	2					2							2	lim			x					x	.
	2		0			2		0					2		0		x				0	x
1x		1		1	x		2				2 x			1				1	2				2
1x		1		1	x		2				2 x			1				1	2				2
	Каждый из двух полученных пределов равен :
							lim			1		1		и		lim			1	1	.
										1		1							1	1
										x
							1 0					1					2 0 x			2
							1 0					1					2 0 x			2

Следовательно, первый интеграл расходится на промежутке1,0 , а второй – на отрезке 0,1 . Окончательно имеем: интеграл

1 dx

2 расходится на всем отрезке 1,1 .

Замечание 10.6. Если функция f x , определенная на отрезке

a,b , имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва

a1, a2, , an , то интеграл от функции			f x на отрезке	a,b
определяется следующим образом:
b	a1	a2	b
f x dx f x dx f x dx f x dx,
a	a	a1	an

если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и

f x dxназывается расходящимся.

Соседние файлы в папке For Exam

#
15.04.2015110.86 Кб21Матрицы.pdf
#
15.04.2015200.52 Кб17Метод замены переменной.pdf
#
15.04.2015161.99 Кб23Метод интегрирования по частям.pdf
#
15.04.2015222.26 Кб18Методы интегрирования подстановкой и по частям.pdf
#
15.04.2015224.95 Кб24Несобственные интегралы 2.pdf
#
15.04.2015216.84 Кб19Несобственные интегралы.pdf
#
15.04.2015203.21 Кб17Определенный интеграл.pdf
#
15.04.2015368.26 Кб18Определители.pdf
#
15.04.2015338.66 Кб21Приложения определенного интеграла.pdf
#
15.04.2015324.83 Кб21Прямая и плоскость в пространстве 1.pdf
#
15.04.2015205.01 Кб23Прямая и плоскость в пространстве 2.pdf